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 se v6 que eiitre a y A, el valor de F(cdj es sieinpi-e uno de los 

 valores que toraa la derivada {'{x) en este )nisaio intervalo. 



Si se descompone f(a;) como lo hemos hecho antes con F(x) 

 eu dos partes, la una x{x) formada de los terminos positivos , y 

 la otra — //(cc) formada del conjunto de los terminos negativos, se 

 tendra 



r(a3)=A(cc) — ("(cc), f'(oc)==X'(x) — .tt'(a;). 



Ademas, como la diferencia x'(a) — jw'(A^ , sera en el iutervalo de 

 a a .1, menor que todos los valores de la derivada, esta misma 

 diferencia sera siempre menor que F{x), y se la podra poner en 

 ugar de m[ . La correccion se raudara en tal caso en 



-f(a) 



A'(a)— /(A) ' 



mien Iras que la de Newton es 



X'(a)-/(a)' 



consiste, pues, la diferencia en la sustitucion del liniite superior 

 A al limite inferior a en la suma de los terminos negativos ; y 

 basta esta sustitucion para que la aproximacion , incierta desde 

 luego 6 aun iluso"ia, se trasformc en cierta y rigorosa. 



Consideremos el caso particular en que el polinomio deriva- 

 do i'{x) es siempre creciente 6 siempre decreciente entre los 

 liniites a. A; esto es, el caso en que el polinomio derivado de 

 segundo orden f"(a;)es siempre positivo 6 siempre negativo. El va- 

 lor del punto de partida A'(a)— '(aj eu el primer caso, 6 cuando|ei 

 polinomio derivado es siempre positivo, el valor del otroextremo 

 6 final x'(A) — "'(A) en el segundo caso, 6 cuando el polinomio 

 derivado es siempre decreciente , seran inferiores a todos los va- 

 lores de V(x); se podra, pues, liacer 



m{ =A'(a)— f«'(a) «M =a'(A)— /(A), 

 y la correccion sera 



— f(a) _ f(a) , -f(a) __Ka). 

 A'(a)-//(a)~ {'{ay ^ x'(A)-."'(A)"""~«'(A)' 



eslas son precisamente las correcciones indicadas por Newton. 



£1 nuevo metodo, tan simple cii si mismo, y de una elicacia 

 absoluta, comprende, pues, como caso particular el metodo do 

 Newton. 



