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espresiones que solo contieneu I'ormas funcionales , a la se- 

 gunda las que lambien lienen diferenciales, y a la tercera lafs 

 que lambien inlegrales. 



En el parral'o 4." repile el principio en que Uevaba fun- 

 dado el calculo de las variaciones, y que consiste en dislin- 

 gulr dos clases de carabios en y: uno, designado por dy, pro- 

 viene de converlirse x en x-\-dx; olro, llamado ^y, es enlera- 

 raente arbitrario, y no depende de x. Mirado asi cl calculo de 

 las variaciones, parecia nucvo; pero profundizando en la esen- 

 cia del misrao, descubrio EuI't que se le podia referir eiile- 

 ramente a la leona de las diferenciales parciales. En vez de 

 conservar el cambio llamado variacion, reemplaza la eouacioa 

 yz=(p{x), primei'o por la y-\-^y=<p{x)-\-t'^{x), en la ctial es 

 / infinitamenle pequena; y pasando luego a una forma mas 

 general, consideva a y, no ya como funcion de x sola, sino de 

 dos variables x y t, siendo t una nueva variable introducida. 

 Lo esplica de la manera siguiente. Sea y=<(>{x) la ecuacion 

 do una linea; y=(;,{x, t) represenlara todas las lineas infini- 

 tamenle proximas si <p{x, t) es lal que haciendo ^=0, vuelva 



<i{x, t) a ser (p{x), y la formula ^^* ' reemplace a lo que 

 se babia designado por ^y. 



La introduccion de una variable nueva dio sin duda al- 

 guna al calculo de las variaciones su verdadera base. 



En ninguna memoria hablo Euler de variaciones de se- 

 gundo orden, precisas para saber si bay maximo 6 minimo, 

 6 ni uno ni olro. Los primeros trabajos de este genero los pu- 

 blico Laplace el ano de 1772. {Nova acta eriiditonim, 1772, 

 pag. 193.) Legendrc Irabajo luego en el mismo asunto, en 

 una memoria de 1786 y en otra de 1787. (Acad, de Cienc, 1786, 

 pag. 7, y 1787, pag. 348.) Pero en las Ires memorias se Irata 

 solo de los cases de no ser y funcion mas que de x. 



Lagrange se dedico lambien a consolidar y estender su me- 

 todo, como se ve en la Teoria de las funciones analiticas, cuya 

 primera edicion es de 1797 y la segunda de 1813. Tiene Ira- 

 bajos sobre las variaciones de segundo orden, pero lambien en 

 los casos de no buscarse mas que una sola funcion y de una sola 

 variable x (2.* part., cap. XII, nums. 64-70, ^.^ edicion); y no 



