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DAS SciENCIAS DE LlSBOA. 7 



Thcorcmas análogos aos de Newton. 



1 1 Diferentes demonstrações tenho visto dos thcorcmas 

 comprchendidos na formula (e) , mas nenhuma , segundo nu 

 parece , dedu/indo-os de hutna formula geral , pela qual se 

 veja evidentemente , como aqui acontece , que elles não tem 

 limitação alguma cm seu numero ; todas se reduzem a mos- 

 trar que são verdadeiros até certo grdo , e a concluir porin- 

 ducçiío , mais ou menos evidente , que o são dahi por diante. 



Não excluo do numero destas demonstrações nem a dá 

 La Grange ( R. des Equations nummeriques &c. note VI. 

 p. 14? ) , que tem aliás grande merecimento pela :>ua sim- 

 plicidade ; nem a de Stockler (Memorias da Academia Real 

 das Sciencias de Lisboa T. II.) 



12 Se parecer que esta demonstração nao tem toda a 

 generalidade por depender da equação (b) , que não hc co- 

 nhecida senão por inducção , a pezar de estar geralmente 

 adoptada como verdadeira , pôde ver-se a Nota seguinte em 

 que se trata da sua investigação. 



NOTA. 



Seja l/' ' huma funeçáo de u,X^ 3 ' hum.i funeçáo de x , T^ 



huma funeçáo de y , Scc. e seja Z^ o) = C/ (i) X> 3) r (o) ; represente 



U' 1 ' a funeçáo cm que se torna l/» ' por huma certa operação que se 

 faça sobre u;U^'' a funeçáo em que se torna u' 1 ' pela repiriçáo da 

 mesma operaçáo sobre ti e assim por diante a respeito de U ,; ' , L ; ' 4 ' , 

 &c. ; o mesmo se entenda a respeito de X^,X^ , Scc. T^ , T^ , 

 &c.;e seja Z^ ] - U^ X^ o) 7*°' -4-_ C/ [o) tf l) ? ;o) -I- t/H X a) T'> 

 -+- Scc. , isto he , a somma das funeções em que sucessivamente se tor. 

 na Z^ pela operaçáo sobredita feita separadamente sobre u ,x ,y , Scc. ; 

 Z {2 ' a somma das funcçóes cm que suecessivamente se torna Z'' 1 pe- 

 la repetição das mesmas operações , e assim por diante Z^ , Z^ , &c. 

 He fácil de ver que 



z [m) =a uif ) X ( S ) r [h) +bu {i) X {*) r {l) + &c< 



e que será em cada hum des termos / -+- g -+- b -+- Scc. — m , i 4- 

 k^ ■+- l -+- Scc. — m , Scc. , e que os coelficientes a,b,Scc. não depen- 

 dem 



