Introduction. 



La démonstration rigoureuse que C. Neumann') a donnée pour l'existence des 

 séries de carrés des fonctions cylindriques est extrêmement élégante. 

 En effet, en appliquant sa formule intégrale 





(J'\x))'' = - • \'J-'\2xcos<p)d^, (a) 



n étant un entier non négatif, l'illustre géomètre allemand a déduit de la formule 



le développement correspondant de a-" selon des carrés des fonctions cylindriques. 



En essayant de généraliser cette méthode ingénieuse, j'ai vu son analogie avec 

 celle que Schi.ömilch"^) a appliquée dans la démonstration non rigoureuse de ses 

 séries selon des fonctions cylindriques, méthode qui transforme, à l'aide d'une 

 identité intégrale due à Abel, une série de Fourier en la série de fonctions cylin- 

 driques susdite. 



Or, pour pouvoir généraliser la méthode de Neumann j'avais avant tout à 

 généraliser la formule susdite d'AsEL et cela d'une manière différente de celle de 



M. N. DE SONIN^). 



En effet, il est évident que la généralisation de la formule d'ABEL, trouvée 

 par l'éminent géomètre russe, ne permet pas de transformer la série (ß) en une 

 autre selon des produits de deux fonctions cylindriques. 



Dans mes premières recherches sur les séries neumanniennes et kaptegniennes^) 

 j'ai réussi à trouver une généralisation de la formule d'ABEL qui m'a permis de 

 transformer directement une série de fonctions cylindriques de cette forme 



') Leipziger Sitzungsberichte 1869, p. 221— 25ti. Mathematische Annalen, t. 3, p. ôSl -ölü; 1871. 

 ■-) Zeitschrift für Math, und Phys., t. 2, p. 155 — 158; 1856. 



3) Mathematische Annalen, t. 16, p. 48 ; 1880. Acta Mathematica, t. 4, p. 171 — 175; 1884. 

 *) Annales de lEcüIe Normale (3), t. 18, p. 39— 75; 1901. Handbuch, p. 316-320; 1904. 



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