CHAPITRE I. 



Applications aux fonctions sphériques. 



§ 1. Généralisations de l'identité d'Abel. 

 Supposons que le rayon de convergence r de la série de puissances 



f{x) = Oo + OiX- + a^x- +...-!- a„a." — . . . (1) 



soit plus grand que zéro, puis mettons pour abréger: 



Fix) = yVlxcos^) (sin ^^ )-•"(/ ^S iHip) > — 2' ^^^ 



l'intégrale eulérienne de première espèce 



\-(cos^)«(sin^)M. = 2 • J-t^'a ' (') 



OÙ il faut admettre ^H(a) > — 1, ïK(b) — 1, donnera immédiatement pour F(x) 

 cette série de puissances 



qui a également son raj'on de convergence égal à r. 

 Appliquons ensuite l'autre formule eulérienne 



r{a)r{l-a) = .--, (5) 



^ ' sm an- 



nous aurons par le même procédé: 



\^Fixsin^,UsinMt9^rd^ = 3-^, "X TT^' 



«.'0 '^ s = il I 



d'où, en vertu de (1) et (2), cette identité intégrale: 



2^^ • f<^) = ^T7('^•c-•os^^sinç'.) (.rsinç'.) {ty^f (sin ,sf'cl,fd^' , (6) 



où il faut admettre généralement ^ > '^{p) > ~ o" 



