6^ 

 Cela posé, il est facile de voir que la formule de Cauchy 



l 



{cos<prcos(b<p)d^ = ,,, ,„;^^°t^^-fc .' '^(") > - 1' (7) 



2"+'r(q:-^f i)r("^'+i)' 



nous conduira à une identité analogue à (6). 

 A cet effet, mettons pour abréger: 



= f/"" 



G(x} = Y f(xcos(f) (cos<r)''cos{p(p)dif, >K(!/) > — 1; (8) 



nous aurons tout d'abord, en vertu de (7), pour G (a) la série de puissances 



' "fà 2—' rt-±f+-^+ 1) r{^--i+^+ 1)' ^ ^ 



qui a aussi son rayon de convergence égal à r. 

 Appliquons ensuite la formule (3), il résulte : 



s — X 



u + s + I 



7;(.i-sin2ç/0(.rsin2çA)^+'(cotvAy'VçA == ^ '^ ^^J+l 



., = (1 ' 



■■+■ 

 d'où finalement cette autre identité intégrale : 



/■(.r) = • Dx \"\7(.rcos^sin2^)(cos<f)''cos(/>îf)(xsin2^)''+'(cot^)'"dçcd^, (10) 



où il faut supposer généralement ^TÎ(v) > — 1, 'iR(v — p) > ^ — 2. 



Or, il est très facile de généraliser beaucoup les deux formules (6) et (10) que 

 nous venons de démontrer pour une fonction qui est supposée holomorphe aux 

 environs de l'origine. 



A cet effet, supposons que f{x) soit développable en série comme suit: 



f{x) = a„pu(x) + aiP,(x-) + . . . -f anpn(x) + • • -, (H) 



où les fonctions p,(x) sont holomorphes aux environs de l'origine, puis supposons 

 que la série (11) soit uniformément convergente dans un domaine du plan des a- 

 qui contient le point x = 0; des théorèmes très connus concernant la diflërentiation 

 et l'intégration terme à terme d'une série infinie') montreront que les deux formules 

 susdites sont également applicables à cette fonction plus générale. 



Nos deux formules en question (6) et (10) sont applicables à des fonctions 

 beaucoup plus générales encore; cependant le cas susdit suffit pour nos recherches 

 suivantes. 



') U. DiNi : Grundlagen für eine Theorie der Kiinktionen einer veränderliclien reellen Grösse, 

 pp. 523, 528; 1892. 



