Posons y = ^ = O, les deux formules susdites deviennenl évidemment iden- 

 tiques; ce cas particulier est dû à Abel'), tandis que la formule plus générale (6) 

 a été trouvée par M. N. de Sonin-). Quant à la formule (10), elle est de moi; dans 

 mon Traité des fonctions cylindriques^} je n'ai donné que le cas particulier qui 

 correspond à v = 0. 



Dans ce qui suit nous avons souvent besoin de diviser en deux parties chacune 

 des identités que nous venons de développer. 



A cet effet, posons d'abord: 



F{.v) ^\'f{.vc.os<pi{s\n^fPd(p, (12) 



•u 

 nous aurons inversement: 



f(x) = ^^?^_^ • o^ yF{xsm(/>)(xs\n,/>){igø''d</'; (12 bis) 



posons ensuite : 



G(x) = \"/'(a,'cosyr)(cos^)''cos(|(>ç)d^, (13) 



nous aurons de même inversement: 



■tiz 



f{x) = -?-, • DÅ ' G (x sin 2 if) {x sin 2 ^)' "*" ' (col ipf d^p . (13 bis) 



§ 2. Transformation d'une série de fonctions P" "(.»). 



Comme première application de l'identité intégrale § 1, (6), nous avons à trans- 

 former la série de fonctions ultrasphériques ') 



s = x 



f{ax) = r{v) ■ ^ (v + 2s) A^' ''\a)P'' -\x) (1) 



ï = 



qui est supposée convergente sous les conditions suivantes: 



A. x doit être situé dans un domaine K (à une ou à deux dimensions) dans le 

 plan des x qui contient le point x = 0. 



') Journal de Grelle, t. 1, p. 155; 182G. Œuvres 1. 1, p. 99. Abel donne, sous une autre forme, notre 

 formule (6) dans le cas particulier, où p est supposé réel, de sorte que ^ > /o > — Tit tandis que M. de 

 SoNiN indique la formule générale. 



2) Mathematische Annalen, t. 16, p. 48; 1880. Acta Mathematica, t. 4, p. 171; 1884. 



') Handbuch der Theorie der Zylinderfunktionen, p. .380; 1904. 



') Voir mon mémoire intitulé: Recherches sur les fonctions sphériques, p. 47 (285). Mém. de l'Acad. 

 Koyale de Danemark, 7« série, t. 2; 1900. 



