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B. a doit être situé dans un domaine L fà une on à deux dimensions^ dans le 

 plan des a qui contient le point a = 0. 



C. La convergence dans le domaine L doit être uniforme. 



Cela posé, mettons dans (1) a; cos ^ au lieu de x et « sin ^A au lieu de «, il 

 résulte cette autre formule: 



s = X 



f(axsin(pcos(p)=I\v)'y (u ^2s)A'' -\asin(/>)P''-'(xcos^), (2) 



s = 



OÙ la série infinie qui figure au second membre de (2) est uniformément convergente, 

 si nous faisons varier dans l'intervalle de à ;r : 2 (les valeurs extrêmes et ;r : 2 

 y comptées) les deux variables réelles <f et (/'. Remarquons encore que les deux 

 fonctions 



osin^ • (tg^f*", (sin^f'" 



sont intégrables toutes deux de à tt : 2 , pourvu que ^ > 9Î d") > — g ' '^ ^^^ 

 évident que l'opération § 1, (6) est applicable terme à terme à la série infinie qui 

 figure au second membre de (2). 



Quant au résultat ainsi obtenu, il s'agit de déterminer tout d'abord l'intégrale 

 définie 



j _ y pv, a "(a; cos f) (sin ^fd^ . (3) 



A cet effet, introduisons l'expression ordinaire de P"' '"(a'), savoir: 



s = n 



^-^^ - y(0 ^^ sl(2n-2s)! ^^^^ ' ^*' 



la formule § 1, (4) donnera immédiatement: 



, ^1^ + ï) V {-iyr(2n -s + u) r(n- s+\) ^^ ^^ 

 2r(.) 'f^, s! r(2n-2s + l)r(n-s + /> + l)"^ 



appliquons maintenant la formule eulérienne 



Vn r(a) = r(^±^) rg + 1) • 2" - ', (5) 



il résulte après une légère transformation : 



2r(.)/> + l) • n! 

 où F désigne la série hypergéométrique ordinaire. 



'- 2r(.)/> + l).n! ■n'^ + n, -n,p^l,x^~) (6) 



