Cela posé, mcUons pour abréger: 



(7) 



nous aurons ce théorème général : 



I. La série de fonctions nltrasphériqnes { 1 ) peut être transformée en une série de 

 fonctions hypergéométriques comme suit: 



_ ^^ r(p + l ) 

 cos p 71 ' ^""^' r{p + 1) 



1/ ri -L 1 ^ = ^ 



où il faut admettre ^ > ''^{p) > — ^, tandis que les coefficients '^H se déterminent à 

 l'aide de (7); les deux séries {D et (8) sont en même tenips convergentes ou divergentes. 

 Quant au champ commun de convergence des deux séries (1) el (8), il est 

 évident que (8) est convergente où l'est (1). Or, prenons pour point de départ (8), 

 puis mettons-y x sin ç/' au lieu de æ et a sin y: au lieu de a, l'identité S 1, (6) nous 

 conduira immédiatement à la série de fonctions uUrasphéricjues (1). Telle est la 

 démonstration complète de notre théorème susdit. 



§ 3. Application aux séries de C. Neumann. 



Supposons particulièrement que la fonction f[x) que nous venons d'étudier 

 dans le § 2 soit paire et holomorphe aux environs du point x= 0, de sorte que 

 la série de puissances correspondante 



/•(.r) = ao + a.x^ + asx* -r ... -La„.r=^«+ ... (D 



ait le rayon de convergence ;■, puis supposons a < r; la série de fonctions ultra- 

 sphériques § 2, (1) deviendra une série neumannienne et elle est certainement con- 

 vergente à l'intérieur de l'ellipse 



^ ^ -' =1, X = ç -- iy] (2) 



fâ (^) 



1 



qui a son centre dans l'origine et ses foyers dans les deux points (^ 1, 0); dans ce 

 qui suit nous désignons par E{r,a) l'aire située à l'intérieur de l'ellipse (2)')- 



Le coefficient général A"' ^ "-"(«) de la série neumannienne (|ui représente la 

 série de puissances f(ax) se détermine par l'expression-) 



') A la p. 53 |291) de mon mémoire cité p. 7 j ai indiqué une équation fausse de l'ellipse de conver- 

 gence (2). En effet, l'ellipse que j'ai indiquée est plus petite que (2). La raison île cette équation 

 inexacte est à chercher dans le théorème démontré p. 32 (270) du mémoire susdit. 



-1 Recherches sur les fonctions sphériques, p. 17 (285). 



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