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A.-n^a)^^ ^, - . (2) , (3) 



s = (1 



ce qui donnera pour 51" '" "(«1, en vertu de S 2, (7) et des formules eulériennes S 1,(3) 

 et S 2, (5), cette expression analogue: 



'' ^"' ~ „II/- ^ s! nH-2n^s+l) «"+-'»" • '*' 



Appliquons ensuite la formule eulérieune S 1,(5), puis mettons pour abréger: 



^ ''• r(o+l) ^ /•(u+2n + s+l) l s ;"--'" + -^-' " ' '•^' 



il est très facile de démontrer cet autie théorème général: 



II. Pour la série de puissances (1) nous obtenons ce développement en série de 

 fonctions hypergéoniétriques : 



f[ax) -^ ^ (—\)\^-^2s)B''f-'[a)-F[u + s,-s,p+\,x-i), (6) 



s = n 



où les deux paramètres u et /> sont des quantités finies quelconques différentes des 

 négatifs entiers , tandis que le coefficient général B se détermine à laide de (5). La 

 série (6) est convergente où l'est la série neumannienne correspondante, savoir dans le 

 domaine E (r, a). 



En etî'et , il ne nous reste plus qu'à étudier les conditions susdites des deux 

 ])aramètres j/ et p. Quant à 1/, la condition susdite est évidente par ce qu'elle est 

 nécessaire pour l'existence de la série neumannienne elle-même. 



Etudions maintenant le paramètre p\ la formule (6) est certainement démontrée 

 pourvu que ,, > '^(p) > —g- Introduisons ensuite cette autre série de puissances; 



S = U 1 



{p + l)r(s + ^ 



qui à le même rayon de convergence que la série donnée /'(.r) elle-même, nous 

 aurons, en vertu de § 1, (3): 



f{x) = Vg{xcos,p){sm,pfPd,f, )H{p) > -l- (7) 



Cela po.sé, étudions la série neumannienne correspondante 



g («.r) = ^ iu f 2s) Bja) P" -''(x) , (8) 



