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qui esl val;il)lu dans le domaine E (r, a): les deux idenlilés (7) et ,^ 2, (6) nous con- 

 duiront inunédialenienl à la formule (6), de sorte que cette dernière formule est 

 applicable pour iR{p} > — ^. 



Nous nous bornerons ici à ce développement , parce que la démonstration de 

 |6) pour ^K (p) < — ,y sera assez pénible à cause des valeurs limites qu'il faut 

 introduire. 



§ 4. Series de fonctions F(y + w, —n,p^\, x). 



Étudions maintenant plus amplement la série §3, (6). 



A cet effet, posons .r^ -^ y, «'- =- /J; il s'agit tout d'abord de déterminer ce 

 que deviendra l'ellipse E {r, u) ayant l'équation S 3, (2), savoir, en posant r- = p: 



ml \ß\ 

 posons ensuite y = Ci h ir^i, il résulte 



c. = ç'-r, îf, = 2$n, (2) 



de sorte qu'il ne nous reste qu'à éliminer de (1) et (2) les deux coordinées $ et ', 

 ce qui s'effectuera sans peine; nous aurons par là l'équation suivante: 



(^^ - 2)" rj,"- _ 



qui représente une ellipse ayant son centre en (-., , O) et ses foyers aux deux points 

 (0, 0) et (1, 0), tandis (jue son plus grand axe est égal à p : ß\ — — . 



Dans ce qui suit nous désignons par @ (p, ß] l'aire située à l'intérieur de 

 l'ellipse (3). 



Supposons maintenant ([ue la série de puissances 



f(x) --= a„ + a, a.' - a^x''^ + . . . + a„.x"' + . . . (4) 



ait son rayon de convergence égal à r, puis mettons pour abréger: 



^ """r(,..+ l) ^ r(. + 2n+s+l) l s j"""»" ' '^' 



' .s = Il 



nous aurons cet autre théorème général : 



III. Pour la série de puissances (4) nous obtenons ce développement en série de 

 fonctions hijpergéométriques : 



s -^ j: 



fiax) =^ {— D'il' + '2s) A'-'' '{a) F{',+s,~s,p+l,x), (6) 



s = Il 



