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où les paramètres i^ el p ne doivent pas être égaux à un négatif entier, mais étant dn 

 reste comptèfement (uhitraires. Le coefficient général A se détermine à l'aide de (âl, 

 ('/ ta série (Ü) est convergente dans le domaine (i (r, a). 



La série (6), ([ui est certainement nouvelle, est évidemment de même nature 

 (jue les séries neumanniennes. 



En effet, les deux formules (6) el S '2, (1) sont des identités formelles ([ui per- 

 mettent de déduire formellement les séries de fonctions P ou F en développant 

 chacune des puissances qui figurent aux premiers membres des formules susdites. 

 Mais d'un autre coté, les séries ainsi obtenues et la série de puissances donnée ne 

 possèdent pas le même champ de convergence. 



Considérons par exemple les trois fonctions particulières 



(jui sont luules les trois holomorphes aux environs du point x = 0; les ellipses 

 de convergence des séries neumanniennes correspondantes ont , pour « = 1 , les 

 équations 



— J- î- = 1 ?- -I- / - = 1 J_ _1_ -2— = 1 



tandis que les séries tirées de (6) en mettant « = 1 sont convergentes à l'intérieur 

 des ellipses suivantes: 



Comme applications directes de (6), considérons d'abord la formule élémentaire 

 ^.n _ r{ p+n+ l) _ y /;n _ 1^ + 25) /> + s) _ 



S = (l 



qui est valable dans toute l'étendue du plan des a-, en second lieu la fonction 

 cylindrique de première espèce donnera ce développement très connu'): 



\VaxJ \Va) f^, s! / (^ + 1) 



applicable pour des valeurs finies quelconques de .v et de «. 

 ') Haudbucli der Theorie der Zylinderfuuktioiien, p. 275; 1904. 



u-4-s,-s,,o+l,.T) (8) 



