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,^ 5. Series des fonctions inypergeométriques générales. 



Comme une application plus imporlanlu du théorème III, nous tirons directe- 

 ment de S 4, (6), après une légère niodificalion des significations, ce développement 

 d'une Fonction hj'pergéométrique générale : 



S = Il 



• F{a+s,ß-ts,a + 2s+l,y) ■ F{d-, s,—s,y,x), 



(1) 



où la série ainsi obtenue est convergente dans le domaine t£" (!,{/), et où il faut 

 admettre \y\ < 1; de plus, il faut supposer que ni ; ni S ne sont égaux à un 

 négatif entier. 



Posons particulièrement dans d) x = 1, ce qui est permis, puis remplaçons 

 y par x; la formule de Gauss 



^^"' ^' ^^ ^^ = ~r(r-a) r(r~ß) ^^ 



donnera: 



tuj,p,,,x) - r(d-r+ 1) "^ s\ /'(r + s) r(d + 2s) 



• X'- F(a + s,ß + s,a-r2s+l,x), 



[à) 



formule qui est valable, pourvu que a'| < 1; on voit ([ue l'hypothèse (î= y donnera, 

 en vertu de (3l, cette formule plus élégante: 



n«) r(ß ) _ _ 'y^rça + s; nß + s) y,^ ^ s ä \ s r 2s+l v) i4) 



Cela posé, cherchons ensuite dans les deux membres de di les coefficients de 

 la puissance .i", puis mettons x et ;- au lieu de y et o, il résulte ce développement : 



„ _ 'V^ (- l )^r(« + n + s)/'0? + n + s)/'(r+2n + s) 

 ^ s! r(r-L2n + 2s1 Tfa + n) r(/9 + n) 



X 



Il + s , 



(5) 



r(r + 2n + 2s) r(a-^n) nß + n) 

 • F(a + n -\- s, ß + n -\- s, y -h 2n + 2s + 1, X) , 



valable, pourvu que x, < 1. 



Considérons maintenant la série de puissances 



fix) = Oo -^ QiX -l- UoX'' + . . . + OnX" + . . ., (6) 



dont le rayon de convergence est égal à r, puis développons, en vertu de (5), toutes 

 les puissances qui figurent au second membre de (6i , nous aurons une série à 

 double entrée J, dont les séries horizontales sont les développements susdits, ordonnés 



