14 



(le sorte que tous les lennes qui contienueul la même fouclion hypergéométrique 

 forment les séries verticales de J; il est évident que les séries verticales de J se 

 présentent sous cette forme: 



{-!)" l'(a-\-n)r{ß + n) 



lin = .r" • F(a^n,ß'[-n,r^-2n-rl,x) 



S = n 



I 



{n-s)\ r(a + s)riß + s)' '• 



(7) 



Supposons maintenant |.x| < 1 et jxl < r, les séries horizontales et les séries 

 verticales de J seront convergentes comme des séries de puissances, de sorte qu'il 

 est permis de sommer d'abord les séries verticales, ce qui donnera le théorème 

 suivant: 



IV. La série de puissances (6) est déueloppuble en série de fonctions hypergéomé- 

 triques comme suit: 



f(x) ^-= y^ ^-IfAsX^- Fi« + s,^ + s,i-4-2s i-l,x), 



s = I) 



OÙ nous avons posé pour abréger: 



(8) 



_ r(«+n) l\ß + n) V (-1) ^ Fir + n + s) 

 ^"~ nr + 2n) '^^ (n-s)! /'(« + s) /'(/? + s) ■ "*■' ^''' 



tandis qu'il faut supposer que y n'est pas égal à zéro ni à un négatif entier. La série 

 (8) est convergente pourvu que nous ayons à la fois x < 1, x < r. 



Ce théorème général, (|ui est certainement nouveau, présente un intérêt parti- 

 culier, parce que la série (8) est applicable à des fonctions qui ont un point ordi- 

 naire dans le point x ^ -f 1 , lequel est singulier pour les fonctions hypergéomé- 

 triques. 



Remarquons encore que la série (8) est à considérer comme une généralisation 

 très étendue des séries neumanniennes de première espèce selon des fonctions cylin- 

 driques. 



En effet, prenons pour point de départ la formule de P. -A. Hansen'): 



(2) ^- ■''^^■'-> = /V+1) • '■'" ^ (^'^'' ^ + 1' -i'ä'). 



(10) 



où il faut faire croître au delà de toute limite les deux paramètres k et A', puis 

 mettons dans (8) et (9) {— l)sa.>s{kk'Y au lieu de Us el — x'^ : (kk') au lieu de .i', 

 nous aurons formellement ce développement: 



^ -^i^^-(x) -^M^-^-W, (11) 



s = Il s = 



') Handbuch der Theorie der Zylinderfunktioneii, p. 10; 1904. 



