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où nous avons posé pour abréger : 



s = Il 



c'est-à-dire précisément la série neumannienne de première espèce'). 



Du reste, il est facile de rendre rigoureuse cette démonstration de l'existence 

 des séries neiimaimiennes; cependant une telle démonstration rigoureuse ne présente 

 aucun intérêt particulier, parce ipie nous connaissons déjà à Fond les séries en 

 question. 



S 6. Autres propriétés des séries de fonctions sphériques. 



Dans mes Recherches sur les fonctions sphériques') j'ai déduit (juelques pro- 

 |)riétés communes des coefficients de la série neumannienne 



f{ax) --= r(v) ■ ^ (v f s) A'- '{») P" Hx); (1) 



s = Il 



en terminant ces recherches sur la transformation de la série (1 ) il me semble 

 utile de développer d'autres propriétés des coefficients susdits en démontrant ce 

 théorème : 



V. Les coefficients A" "(«) '/«(' fujnrent au second membre de (1) satisfont à ces 

 deux équations fonctionnelles : 



(y -r- n + 1) A'' + '■ "(«) = A" "(«) — A' " + "■'(«) (2) 



«0«^"+ ' "(«) = nA" "(«) + (n + 2v — 2) A'- " + -'(«), (3) 



et cela quelle que soit la fonction f(x). 



Pour démontrer la formule (2) prenons pour point de départ l'identité-') 



(s + vjP'-'Hx) == vCP^ + i -"(.r) - P'+''--U-)) 



nous aurons, en vertu de (1): 



f(ax) = /'(i> + l) • y^ (A'' Ha) - A"- ■' + "■'(«)) • P'+'Ux); 



s = Il 



car nous aurons toujours pour n positif entier') 



P''-"{x) = 0. 



Posons ensuite dans (1) i> -p 1 au lieu de u, puis remarquons qu'une fonction 

 ne peut être développée que d'une seule façon dans une série neumannienne pour 



') Handbuch der Zylindert'uiiktioiien. p. 27'i. 



-) loc. cit. p. 53 (291). 



■'I loc. cit. p. 15 (25.S). 



'} loc. cit. pp. 34 (272), 14 (2.')2). 



