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laquelle le paramètre v a une valeur déterminée: nous trouvons immédiatement la 

 formule (2). 



En second lieu appliquons l'identité ') 



2(v + n).rP'' "(.r) = (n + 1) P"- " + '(.r) + (n + 2u — 1) P^ " '(.v); 



nous aurons, en vertu de (1) : 



s = X 



lxf(ax) = r(u) • y^ (s/i"'^-' (a) + is + 2 i/)A^' "■ + '(«)) • P' "(x). 



(4) 



où nous avons à poser A" '(«) == 0. 



Cela posé, dilférentions par rapport à x la formule (1), puis apjiliquons les 



identités ') 



IKP' "(x) = '2> ■ P"+' "- '(:r), P'"(x) = 1, 



nous aurons: 



af'"(ax) -= 2l\y-Y\) • ^ (s + v + 1) A'-"+ ' (a > • P^ + ' »(X); (5) 



s = Il 



posons ensuite dans (1) !^ + 1 au lieu de >, une differentiation par rapi)ort à « 

 donnera : 



xf^'^Hax) = r(!/ 4- 1) . y^ (s + V + 1) DaA' + ^ '(o) . P''+ I- ''(a-), 



S = Il 



d'où en multipliant par .v la formule (5), puis appliquant la transformation {4), nous 

 aurons immédiatement la formule (3). 



Reniar(juons en passant que les formules (2) et (3) sont des généralisations des 

 équations fonctionnelles que j'ai prises comme définitions des fonctions cylin(lri(iiies''). 



En effet, mettons: 



A^^ia) = /"(^J'C + 'H«), 



nous aurons, en vertu de (2) et (3), si nous posons encore n — 1 au lieu de n: 



2(v^r_n_) , c' + 'Ha) = C' + ^-Ha) + C' + " + '(a) 

 2DaC' + ''(a) = C'' + «-i(«)— C' + n + 'M; 



c'est-à-dire que la fonction C'' + "(«) coïncide avec la fonction cylindrique de pre- 

 mière espèce J" + "(«). 



') Recherches sur les fonctions sphériques, pp. 34 (2721, 14 (252). 

 -) Handbuch der Zylinderfnnktionen, p. 1. 



