17 



CHAPITRE II. 

 Applications aux fonctions cylindriques. 



§ 7. Sur la fonction de Lommel. 



Il esl intéressant, ce me semble, que notre première généralisation de l'identité 

 d'ABKi. est également applicable à une série de fonctions cylindriques. Pour effec- 

 tuer la transformation correspondante, nous avons à prendre pour point de départ 

 la formule intégrale 



S 



i J" (g- cos y) (sin ^ p)-'' ' ^^ _ r{b) t2V> ^a - b. a -f- b ,^. (^. 



(cos^)"-' ' 2cosb;r \a7 



où //" "(.r) désigne la fonction de Lommel, savoir: 



n'pu) = cos^ (v -p) • y -7-^ ^ ,, (2) 



tandis qu'il faut admettre M(b) > 0. La formule (1) peut être démontrée si nous 

 introduisons la série ordinaire qui représente la fonction cylindrique J^ix), et si 

 nous appli(|uons ensuite l'intégrale eulérienne de première espèce S 1, (•^)- 



Il saute aux yeux ([ue la fonction de Lommel est une généralisation de la 

 fonction cylindri(pie de première espèce; nous aurons en effet: 



//""(.v) = ./"(.r,, //"-"(.cl = cosa,-r • ./"U); (3) 



dans ce qui suit nous avons à faire usage de ces autres cas particuliers de la fonc- 

 tion de Lommel: 



/7^(xj = /7^."(a.-j = cos ^' • > - ~ ^— (4) 





/'=v+'cos|(.-^i t^, rj-s + llrls + v + i) 



(6) 



Appliquons ensuite la méthode ordinaire, nous obtenons cette autre formule 

 intégrale analogue à (1): 



l>. K. I) Viilfiisk.ScIsk.Skr.. 7. Hukke, niiluiviiiensk. ii« niiilhcni. Al.l V. 1. 3 



