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} (^^f~' " 2 sin/,;. \.v) ' " ^'^^' ' • 



où il faut admettre aussi ^H (b) > 0. 



Cela posé, il est évident que la formule (1) nous permet de déduire directe- 

 ment une suite d'intégrales défmies qui contiennent la fonction de Lommel, en 

 Iransformant simplement des intégrales correspondantes contenant une fonction 

 cylindrique. 



Or, de telles intégrales étant restées inaperçues jusqu'à présent, il nous semble 

 utile de les développer ici dans leur ensemble. 



1". La formule élémentaire ') 



! 



J'{xco%f){co'>fy + Us,\n(pfP 'df = ^-rP^^ ■ -l' + fU-), 



xP 



où il faut admettre ''M(p) > et iHiv) > - 1, donnera immédiatement, après une 

 légère modification des significations, la formule correspondante 



s: 



/7''''''(xcos^)(cos^)'-'+'(sin^r^'' hl<p = ^^^ ■ ("] ■ /?'' + ''• '' + "(a;), 



(8) 



où il faut admettre ))\ {(t) > 0, 'i)i (p -\- i') > —2; du reste, il est très facile de 

 déduire directement la formule (8). 



2^. I^'intéorale fondamentale de M. H. Weber ^) 



■ritxji^U = :^r-r :v-:4^, O) 



2^ ^f-^) 



où il faut admettre x positif réel, ^K(i/+/>) > ~ 1 et 3Î (/>) < -^ , donnera comme 

 formule correspondante celle-ci : 



i 





5 - \ 2 / --- 2 - /2\''+' 



2 ■ p/l + v-ffi „Il +y + p\ 



n^Pitxwdt = ^ . ^ ^,._„, ,;^:^„: ,, ' ^ — = (-) , dO) 



^r-n"')/^r-^2^-v(i-^) -!(,+.) 



où il faut admettre .T positif réel, ''M{p — v)>(\, ^W (/> + (t) > — 1 et 1 > 3î(2<t + ^ — v), 

 conditions qui s'accordent bien avec la série (2) et la série asymptotique obtenue 

 pour ir-P(x)'). 



3°. La représentation intégrale*) 



'î 



(— 1)« \ ./^(Lv)(f2^ y2)"-' /"+'(// = ^-^ -~^ ^ ■J'' + "(xy) 



') Handbuch der Zylinderfunktionen, p. 1«1. -') p ISil. ■) p. 228. ') p. 22 



