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satisfasse aux conditions énumérées dans le § 2, nous aurons cet autre développement : 



ozî nous avons posé pour abréger: 



7C 



(3) 



'■'0 



La série (2) est certainement convergente, pourvu que x et a soient situés dans 

 des domaines K^ et L, obtenus en multipliant K par — et L par 2 par rapport aux 

 points .r = ef a = respectivement. 



On voit que le théorème VII est une conséquence immédiate des formules § 9, 

 (2) et § 1, 110). 



Inversement, prenons pour point de départ la formule (2), le même procédé 

 nous conduira à (1), si nous appliquons la formule § 9, (5). 



Il est évident que le théorème VII est d'une portée très étendue, parce que la 

 série (1) contient les deux suites de nombres quelconques i/^ et ps- Nous avons à 

 étudier plus amplement les séries suivantes: 



l"". Les séries de C. Neumann: Posons dans (1) i/j = f + s — 1, /^s = 1 et // = u; 

 la série ainsi obtenue est la série neumannienne de première espèce, de sorte que 

 notre théorème nous conduira immédiatement aux séries neumanniennes de 

 seconde espèce. 



Il est très intéressant, ce me semble, de constater que les premiers rudiments 

 des transformations générales que nous venons d'étudier ici se trouvent dans le 

 mémoire de C. Neumann'), où l'illustre géomètre démontrait pour la première fois 

 l'existence de ses séries de seconde espèce correspondant à y = 0. 



2°. Les séries de M. W. Kapteyn : Dans le cas i^« =- /Jj == y 4- s — 1 et /;! = v 

 notre théorème général nous conduira des séries kapteynniennes de première espèce 

 à celles de seconde espèce. 



3'. Les séries de Schlömilch obtenues de (1) en y mettant /i = v = i/s et 

 Ps = s nous donnent des séries analogues selon des produits de deux fonctions 

 cylindriques. 



4'^. Les séries de Fourier-Dini peuvent être appliquées comme dans le S 8. 



Or, il faut remarquer que le théorème Vil ne détermine pas toujours le 

 champ de convergence complet de la série (2). En effet, il est bien connu que 

 les deux séries neumanniennes qui représentent la même fonction, holomorphe aux 

 environs de l'origine, ont le même champ de convergence. 



Pour mettre en pleine lumière la question concernant les champs de conver- 

 gence des deux séries neumanniennes qui représentent la même fonction désignons 



') Mathematische Annalen, t. ;i, p. 581— (ilO; 1871. 



