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par K el K^ les deux champs mentionnés dans noire Ihéorème VII, puis supposons 

 que le développement 



x'' ^ ^ a,r-^{j)sx) (4) 



s = II 



soil convergent dans le domaine A'; nous aurons immédiatement, en vertu de § 1, 

 (7) et § 9, (2) cet autre développement: 



rip + i)xf '^ '"j-t" XI 



pi P + ''+ y 7 p-v+ i j = \ «»-^ ' </^-^^-^ (^•-^■) (5) 



qui est certainement convergent dans le domaine K^. 



Supposons maintenant que la série (4) soit la série neumannienne de première 

 espèce, les deux domaines A' et K^ coïncident tous deux avec la partie finie du 

 plan des x, ce qui est la raison de la coïncidence des domaines de convergence K 

 et Kl pour les deux séries neumanniennes qui représentent la même fonction. 



Pour donner aussi une application de l'intégrale double § 9, (4), remarquons 

 qu'une formule générale que j'ai développée dans mon Traité de fonctions cylin- 

 driques') donnera immédiatement ce développement: 





v_+p V-p 



(- 1)* e, J ä (SX-) J ^ (SX) 



s = Ü (s xy ^ 



^, (*' cos (, /> arc sin /c^ r) (1 — z^)' ^ ^ ^ _ 



> A-S-' • \ i' + l "*' 



(6) 



où .r désigne une quantité réelle, telle que 



;r(/>-y<la-l<(/, + l)^, (7) 



p étant un positif entier, tandis que nous avons posé pour abréger: 



A-s = l/l - 



(2s— l)'';r« 

 4.r' ' 



quant à c«, il faut poser s„ = 1, mais c^ = 2 pour s > 1. 



L'accent fixé au signe 2' qui figure au second membre indique qu'il faut 

 prendre la moitié du terme qui correspond à s = p, dans le cas particulier où 

 l'égalité a lieu dans la limite inférieure de (7). 



Dans le cas particulier où ^ ^ < x' < + y , la somme de la série infinie 

 (jui figure au premier membre de (6) est égale à zéro. 



Posons particulièrement dans (6) v = 0, ,o = 1 , nous retrouvons la formule 

 élémentaire très connue: 



') Handbuch der Zylindeifunktioiien, p. 340. 



