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(-l/-'sin(2sx) X y^\ 



tandis que l'hypothèse v = /> ^ conduira à une autre formule particulière que 

 j'ai développée dans mon Traité^) sus-indiqué. Nous aurons dans ce cas la formule 



s -p 



^(-l)».,(./"a-.r))'= -^, -^VI^aJ, (9) 



s = I 



où F(~ , k\ désigne l'intégrale ellipti([ue complète de première espèce, tandis que 

 l'hypothèse v == /> = \ donnera la formule analogue 



^^ SX - , . , t: . \x 



s = 



^^^- • •^"(-)-^'(-) ^ — 'i^ • X'^^'^ ^^Iv^^J' (10) 



où E (y , l<] désigne l'intégrale elliptique complète de seconde espèce. 



Remarquons en passant cpi'il est très facile de démontrer ces théorèmes con- 

 cernant des cas particuliers de la série (6): 



1°. Supposons que v et /> soient des entiers non négatifs de la même parité, la 

 somme de la série (6) s'exprime sous forme finie à l'aide des intégrales elliptiques 

 complètes. 



2°. Dans le cas, où m et ij sont des entiers non négatifs de parité différente, la 

 somme de la série (6) est un polynôme entier de rr. 



3°. Supposons que v et f) soient des nombres rationnels parmi lesquels un au 

 moins est fractionnaire , la somme de la série (6) s'exprime sous forme fmie à l'aide 

 des intégrales hyper elliptiques. 



Remarquons en passant que l'intégrale S 8, (!)) peut également être transformée 

 à l'aide de la formule ,^ 1, (10), mais (ju'une telle transformation ne présente qu'un 

 intérêt médiocre. 



CHAPITRE III. 

 Sur une équation différentielle linéaire. 



§ 11. Équation du quatrième ordre obtenue pour C^(x) ■ C^'{x). 



Il est évident que la méthode que j'ai appliquée dans mon Traité des fonctions 

 cylindriques en m'appuyant sur un cas particulier de la formule intégrale s^ 9, (2) 

 est également applicable à la formule générale. De plus, il est évident que cette 

 méthode généralisée nous donnera sur-le-champ les équations différentielles que j'ai 



M Handbuch der Zylinderfunktionen, p. 347. 



