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En effet, introduisons dans (1) la série 



y =^ a,-x'< + -'\ (3) 



s = l> 



puis appliquons la formule eiilérienne concernant la fonction r(2w); nous aurons, 

 en vertu de S 9, (D, ces trois intégrales particulières: 



(J^f.r))^ (./-''(.r))\ J^(.r)./-''(.v), 



ce qui nous conduira immédiatement à l'intégrale complète (2). 



2°. b = 1; nous aurons ici l'équation différentielle analogue à (1): 



„.+±,,«,+(4+^«'),..+(l-î-:)„ = o, 



équation qui admet certainement comme intégrale particulière la fonction 



(4) 



g+l g— 1 



y, = ./ "^ (X) J 2 (X). (5) 



Pour déterminer maintenant deux autres intégrales particulières de (4), intro- 

 duisons-y la série (3); nous aurons la formule recursive 



(A-+2S+ l)(Â-+2s+a)(A- + 2s- a) a, + 4(A- + 2s) a^-, = 0, 



et pour k les valeurs suivantes: 



k =^ a, A^^— a, k = — 1. 



L'hypothèse k = a nous conduira à l'intégrale (5), tandis que Ar = — a don- 

 nera cette autre intégrale particulière: 



1— g g+l 



y 2 = ./ - (X) .1 -' (X). (6) 



L'intégrale qui correspond à A =^ — 1 se détermine sous la forme suivante: 



^ ris 



ce qui nous conduira à considérer ce cas particulier de § 9, (1): 

 appliquons ensuite l'identité évidente 



