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nous aurons en vertu de la formule eulérienne § 1,(5) pour y.j cette autre expression: 



g-l _ u + 1 COS -^ 



j,, = ./ ^ (x)./ -^ (.r) — '• (7) 



Combinons maintenant les deux intégrales y, et y^; la définition de la fonction 

 cylindrique de seconde espèce Y^(x) donnera cette autre intégrale particulière de (4): 



g — 1 11 + 1 , 



y, = ./ '^ (X-) y "-i (-v) + ^^.- (S) 



Quant à l'intégrale (6), appliquons l'identité 



J- "(x) = cosi;;r ./"(.rj — sin y?: y'(.v), 

 et la formule fondamentale de Lommel: 



V' - ' (.r) .r\x) - y ^ (.r) J^ - ' (.i') = — ; 



nx 



nous aurons cette autre intégrale particulière de (4): 



g — 1 o+J. 



!/, = y ^^ (x) y ^^ (:r), (9) 



de sorte que nous avons démontré ce théorème qui est certainement nouveau : 



VIII. Supposons différent de zéro le paramètre a, l'intégrale complète de l'équa- 

 tion (4j se présente sous la forme 



g— 1 g + 1 g — 1 g + 1 , g — 1 a + l ■. . 



y = c, J^(x)j'^(x) + c, Y '- (x)Y ^ (x) + c, l.T 2 (.r) y -^ (x) + -~_y (10) 

 Dans le cas particulier a ^ nous aurons: 



.Ax).r^(x) = - y^(.r) y"^(.r) = ^"^^ 



pour obtenir dans ce cas une troisième intégrale particulière de (4) nous pouvons 

 prendre la fonction 



a+l g~l 1 — a 1 4-g 



J~^(x) J~^{x) - J^jx ) J 3 (.V) ^ 

 sin ar: 



ce qui donnera, pour a == 0, l'intégrale cherchée sous la forme 





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