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§ 13. Représentations intégrales de ^"(æ-) • C + Uæ). 



Dans mon Traité des fonctions cylindriques j'ai étudié d'un point de vue général 

 une classe d'intégrales définies parmi lesquelles la suivante: 



x-^xBixy) =\ C''{tx)tP(t^-iry^fdt, w=^J-2ff+l 



(1) 



est une des plus simples; la fonction S (x) qui figure au premier membre de (1) 

 satisfait à cette équation différentielle du troisième ordre: 



@(3)(^.) 4_ 3 -_2i" . @(.)(.^) + ( (i-Ll-il' -Jl! _ 1 ) @(.)(a:) + ^ • @ (x-) = . (2) 

 Posons ensuite dans l'équation différentielle § 12, (4)|: 



et dans l'équation ainsi obtenue px au lieu de x, nous aurons l'équation différentielle 



-''' + ^ -"''*+ (^^' + 



(« — 1)(3«-2) — g' 



x-^ 



) z(^' + 



4p^(2-aj (a — l)(tt -a)(« + a) \ , _ 



\ a; X 



qui admet comme intégrale complète la fonction 



')- = ». 



(3) 



/ a+ 1 g— 1 g+l a— I 



: = a;«(c, J "^ (/jx) J^~(/)x-) + c„ Y '^ (jax) Y ^ (px) + 



(4) 



Cela posé, il est évident que les équations différentielles (2) et (3) deviennent 

 identiques sous les conditions suivantes: 



p = ~, 4 — 3a = 3 — 2«>, « — 2 = 2ff 



(« — l)(3a — 2) — a^ = (û,_ 1)2 — ^2 

 («-l)(a-a)(a + a) --= 0, 



de sorte que nous avons à étudier séparément ces trois cas différents: 

 1. a = ^ = w = l, <T = — ^, a==i/, P = -^ 



2". a =^ a, p =^-, «T 



2 

 a 



3°. a 



2 ' " 2 



a + 1 



a, p = ^ , a = 



2 



3« — 1 

 2 ' 



a + 1 



" =-2"' /* = 



1 , (O 



3a-f 1 



— , 1/ =■■ 



2 



1 — g 

 2 ' 



Or, il saute aux yeux tjue les deux derniers cas coïncident, de sorte que nous 

 n'avons qu'à étudier les deux premiers cas. 



I). K. 1). \"idensk. Selsk. Ski'.. 7. Kække, luitiirvidensk. uj^ iiiiitheiii. .Mil \'. I. 5 



