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§ 14. Étude de l'intégrale^ C-'{t,r)t(r'^ f) "-df. 

 Dans le premier cas indiqué au § 13 nous aurons une formule de la Forme 





(1.) 



où les coefficients Cj sont des fonctions de v, indépendantes à la fois de x et de y. 



Pour déterminer ces trois coefficients inconnus, remarquons tout d'abord que 

 l'intégrale qui figure au premier membre de (1) a un sens sous les conditions 

 suivantes: x réel et non négatif, 9î(i/) > — 2, et qu'elle représente dans ce cas une 

 fonction analytique de v. 



Multiplions ensuite par .v" les deux membres de (1), puis faisons converger 

 à zéro la variable positive x; l'intégrale ainsi obtenue aura un sens pourvu que 

 — 2 < 9{(i>) < — 1, ce qui donnera pour y = 1 : 



-^ • \ -== dt 

 fl) ] Vt^ + 1 



d'où en appliquant des formules très connues concernant la fonction gamma: 



Ttf 



2 COS -2 



Pour déterminer le coefficient Cg mettons dans (1) y = 0; l'intégrale ainsi 

 obtenue a un sens, pourvu que 9î (y) > — 1; nous aurons, en vertu de l'intégrale 

 fondamentale de M. Weber § 7, (9): 



ni 



c, ^ 



2 cos y 



Quant au coefficient c.2, il est facile de voir qu'il doit disparaître; en effet, 

 supposons 'ia (v) > , puis mettons dans (1) x --= , le premier membre de cette 

 formule s'évanouira, ce qui n'est possible pour le second membre que si c^ = 0. 



Cela posé, nous aurons finalement la formule: 



qui est certainement nouvelle; dans (2) //./(.v) désigne la fonction de Hankel, savoir 



//,«(.r) = J''(x) — iY<'(x). (3) 



