210 Memorias da Academia Real 



I.' ou cada um menor que 90.° ; 

 II.' ou cada um maior que 90" ; ^ 



III.' ou um maior que 90° , e o outro menor j 

 IV.' ou cada um igual a 90° ; 



V.' ou finalrriente um igual a 90° , e o outro maior ou 

 menor. 



I.* circunstancia. 



Supponhamos em primeiro lugar que cada um dos la- 

 dos^ b e dy do angulo A do triangulo spherico , ABD 

 Fig. II,' , he menor que 90° ; e imaginem-se as tangentes 

 trigonométricas destes lados, tg. b ctg. íi, tiradas do con- 

 curso A dos mesmos iados : estas tangentes determináo uin 

 triangulo rectilíneo, e as respectivas secantes, secb e secd j 

 determinão outro. Represcnte-se por x o lado commum dos 

 ditos dous triângulos rectilíneos , e será (qualquer que se- 

 ja a grandeza do angulo J j como consta da trigonome- 

 tria rectilínea) 



»» ::^ tg.' í + tg.' (/ — 3 tg. i. tg. d. COS. A — sec' i + sec' d — 2 sec. í. sec. d. cos. * 



Donde se deduz (*) 



(i) cos. a = cos. A. sen. b. sen. d ■+■ cos. b. cos. d 



o que mostra a verdade do theorema no caso de ser cada 

 um dos lados do angulo menor que 90.' 



II.' circunstancia. 



Imagine-se em segundo lugar o triangulo AB'D', de- 



ter- 



(*) . 2 sec, 4. sec. d. cos. a ■=, sec' i — tg.' b + sec.- d — t*.' </ + 2 tg. h. tg. d. cos. A 

 2 7 . ^ . COS. a ■=. \ -V- 1 -t- 2 . — —. . COS. A 



COI. p COS. d cos t> I.OS. d 



2 COS. az^i COS. b. cos. d-\-2 sen. b. sen. d. cos. A 

 COS. a =: COS. A. sen. b. sen. d + cos. b. cos d. 



