212 Memorias da Academia Real 



ç por consequência 



sen. d = sen. d' y cos. d — — cos. </' 

 COS. <z = — COS. a' ; cos. .4 = — cos. A' 



E substituindo estes valores na formula (i) , resulta . . 



. . (3) . . . cos. a' = COS. A.' sen. b. sen. / -h cos. h. cos. á' 



Esta formula (.3) mostra que o theorema fundamental ain- 

 da he verdadeiro , quando hum dos lados b he menor que 

 90°, e o outro d' maior. 



IV.* CIRCUNSTANCIA, 



Supponhamos em quarto lugar que os lados, bed, do 

 triangulo ABD ( Fig. I.* ) são cada um igual a 90" : em 

 tal caso o vértice A será polo do lado <i } e em consequên- 

 cia 



a = A; ou cos. A = cos. a; e he o que também 

 dá o theorema fundamental , o qual neste caso se reduz 

 a . . cos. íz— cos. A. sen. 90.°sen. po^-j- cos. 90.''cos. 90°= cos. A, 



Logo o theorema fundamental ainda comprehende o caso 

 de ser cada um dos lados do angulo A igual a 90.'' 



V.* £ ULTIMA CIRCUNSTANCIA. 



Consideremos em quinto lugar o triangulo ABD (Fig. 

 IV.), no qual supponhamos o lado d = 90°, e o lado b 

 maior ou menor que 90.° Neste triangulo ou o angulo A 

 he igual a 90°, ou não ; no primeiro caso será 5 polo deZ-, 

 e em consequência será . . a z=z 90° ; e he com effeito o 

 que dá o theorema fundamental , de cuja applicação resulta 



(5) . . . COS. a= COS. 90.«sen. b. sen. 90° 4- cos. b. cos. 90" =: o : • a =z 90°. 



E no segundo caso o arco BH descripto do vértice A co- 



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