SU'PRINGIPJ DEL CALCOLO DIFFEllENZIALE CC. 1 I9 



(Iratnrc, le lettilkazioni, le soliditA, sono T oggetto priiic-ipale per il quale 

 lianiio inventati i lor cakoli qiici i;eoinetri ; e le osservazioni che pouan 

 farsi sopra quel problcina , hanno luogo per tutti gli altri di siiuili ceticri 



Fig. 6. Sia A E B una parabola apolloniana , di cui AC ,C B siano 

 le coovdiiiaie oriOi;onali . Si diinanda la quadratura dello spazio paraboli- 

 co AEBC. Coinpiamo il rettaugolo circoscritto ADBC, che per mag- 

 gior scijiplieita supporrenio oeser quadrate; e sarii risoluto il prohlenia, 

 quando saprenio il rapporto dello spazio AEBC ovvero AEB D alio 

 stesso quadra to 



Metodo del Cavaliebi 



La liiiea A C flucudo j)arallelamente a se stessa ad angolo retto , ve- 

 nuta in D£ , ha gciicrato il quadrate circoscritto. La stessa linea AC 

 flueiido nella medesinia niaiiiera , e iiel tempo stesso il pnnto A fluendo 

 da A verso C in moilo die ([uando la linea AC c per esempio in JPQ , il 

 punto A sia in E , essendo A P e F £ in quella proporzione che ricliiede 

 la proprietii della parabola , genera lo spazio paralrolico AEBC, come 

 pure il comj)leuienio AEUD . Se dun,[ue supponianio che questa linea 

 lasci in certo modo continue vestigia did suo passaggio , le quali saranno 

 altretiantc linee , la congerie di tutre (pieste linee , di'tte dal Cavalieri 

 indiviiibill , che si trovano nel qiiadr;ito ADBC, stara alia congerie di 

 tutte quelle con.ponenti lo spazio AEB D, come la superticie del qua- 

 drate stesso alia superlicie di cpiesto spazio . Dunque tiitto si riducc a tro- 

 varc il rapporto dctfa soninia i/i tutti ^V indivinbili del quadrato alia 

 somina di tutti gl' itidiyisibili del complcincnto . Per otteuere un tal raj)- 

 porto, Cavalieri stidjiliscc questo lemma 



Fig. 7. In ogiii retlangolo ABCD la sonima dei qnadrati di tutti 

 gV indivisibili D C ,1 1 ,11 , ec. ciie lo compongono , e tripla della somma 

 dei quadrati di tutti grindivisibili i quali compongono il triangolo A B C ^ 

 Questo lemma e diniostrato sinteticaniente dal nostro geometra , ed in un 

 Diodo che ha tntio il rigore geometrico. Non riporteremo questa dimestra- 

 ziene per esser hnighi^sima e comjilicala , e dcdurremo la veiita di rniesto 

 tcorema dalla misura dei selidi . E'si sa dagli elememi d'Euclide, che la 

 piramide e la terza parte di un prisma della stessa base e della stessa al- 

 tezza : se dunrpie sopra ciastuno degl' indivisibili che compon'nino il ret- 

 taugolo , si la un quadralo il cui piano sia per|)endicolare al piano della 

 figura , e lo stesso facciasi sopra ciascun indivisibile del triangolo , b faci- 

 le vedere , che la congerie dei ([uadrati degl' indivisibili tlcl triangolo for- 

 niera una piramide, e che la congerie dei quadrati degl' indivisibili del 

 rettanijolo t'ormera un prisma d'dla medesinia base c della medes.ima al- 

 tezza della piramide: dunque la summa dei quadrati degV indivisibili del 



