9d' MASJIMI E MINIMI CC. Iy3 



^dx' ^dy' ^dp' ^d^' 



dZ=.{i^)dx -^- ('^^)dy ^Adp ^ {'l^)d ^ . . 

 ^dx' ^dy' ^dpl ^dJ^' 



Sia y=f{x) la rela/jone la fjuale reiide qnella 

 fiinzione integrale iiiassiina o minima, ed ogni akra re- 

 lazione diHerente da qnella clie vonassi sostitiiire in J/, 

 ci (\.XTkf^dx minore, qnando y=f{x) conduce al 

 massimo; maggiore, (jnando conduce al niinimo. 



Rappresentando per oi una qnalnnque funzione di x, 

 e per / una costante arbitraria, cui possiani dare un va- 

 lore quanto vogliamo piccolo, y==/'(x)-*-i«,y=y(x) — i<j> 

 saranno due altre relazioni, una delle quali dara le or- 

 dinate maggiori, Taltra le ordinate minori della y=:/(x); 

 e queste due relazioni sostituite in f 4,dx ci dovran- 

 no dare due quantita minori del valore di f ^ clx, in 

 cui si faccia y = f(x) se abbiamo il massimo, e mag- 

 giori, se abbiamo il niinimo. 



Indichiamo per -h f 6, e — id' gli anmenti che riceve <j> 

 quando y diviene j- =t i w , e rappresentiamo v{> per 

 «!' (x , y , 7J , (J) ) . 



Le due diflerenze adunque 



/i{a;,j-Hiw,/>-+-i(— ^) ,(J)-»-i6) d x — ji^^p^y >x ,<^)d x^ 

 Jl{x,y^iw,p^i{^^''-),<^~i(i')dx-f^{p,y,x,(^)dx 



dovranno esser positive nel minimo , negative nel mas- 

 simo. 



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