MASsnn E MINIMI degl' in tegrali doppj i3i 



^x=f{x,cp'x)— f{x,<px), ed a viTiiio 

 f d X f F {x ^ y) d y = f "V X . d x 



Rappresentaiido quest' ultimo integrale per rx, 

 si sa egualmente che sara v b — va una quaniita po- 

 sitiva se Yx e tale per tutti i valori possil>ili da x = a 

 slno ad x = 6 . iNIa y x ovvero /"( x , <?' x ) — /( x , c|) x ) 

 e positivo per tutti quel valori di x se per ciascuno 

 di essi c positivo F{x^y) dando ad y tutti i valo- 

 ri possibili da y = $ x siao ad y = $' x; duuque T b — 

 va sara una quautita positiva se F{x^y) sara sein- 

 pre tale per tutti i valori che si ponno dare ad x da 

 X = a sine ad x = 6, e per tutti i valori simultanei, 

 che si pouno dare ad y da y = <j) x sino ad y = $' x, 

 di modo che ad ogni valore di x corrisponde un nu- 

 mero iufiuito di valori per y. 



Cosi fatto X = m, se i due valori estremi della 

 y sono y =z M ,y = M\ dobbe /^(x , y) essere una 

 cfuautita positiva per tutti i valori di y da y = M 

 sine ad y = M'. 



Oltre questa condizione, la quale stabilisce quan- 

 do r 6 — r a e una quautita positiva, conviene ag- 

 giungere quest' altra, die nessuno dei differeuziali par- 

 ziali di (pialunque ordiue di F {x , y) divenga iuliui- 

 to per qualuutjue di quei valori particolari di x e di y. 



Oude il valore di quest' integrale doppio fosse 

 negative, dovrebbero essere tali tutti i valori di F 



§ 5. Rappresentando per t una qualunque fun- 

 zione di x , y , z, si cerca la relazione che esser deb- 

 be tra queste tre variabili, onde 1' integrale doppio 



