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 iliflbienziali a indice fratto. L'autore risguarda le derivate a ìndice 

 fratto come teniiini interpoLiti tra quelli della serie deUe derivate suc- 

 cessive a indico intero. Considera clic Eulero aprì la vera v\a del cal- 

 colo di delti dill'ereiiziaii col ceiuio esatto che ne die laddove nel tomo V 

 dei Commentarii di Pietroburgo, tratUuido dell'interpolazione della se- 

 rie il cui tennine («)esimo è composto del prodotto de' numeri na- 

 turali da ^ fino ad «, passa alla ricerca delle derivate a indice fi-atto 

 (Iella potenza x" , assegnando il coeflicicnte di differenziazione mediante 

 integrali definiti, in cui l'indice non è più soggetto alla condizione d'essere 

 intero e positivo. Tocca le idee di Laplace e di Fourier suU' argomento. 

 Venuto a quelle del sig. LiouxiUe ridette che, assumendo questi per 

 ilefinizione dei differenziali a indice qualunque l'ecjuazione che si ricava 

 derìvando più volte l'esponenziale e'"-^, si trova egli costretto a tras- 

 formare in una serie d'esponenziali ciascuna funzione per poterla diffe- 

 l'onziarc. il che reputa mezzo artificiale e talvolta difficile da cui debba 

 rendersi indipendente la ricerca dei differenziali anzidetti: oltreché nel- 

 l'equazione sopraccitata pei casi di m intero scorge invece d'una defini- 

 zione jiiuttosto mi teorema dii chmostrarsi. Ciò posto, l'autore cerca 

 (li stabilire sopra princij)ii generali la base del nuovo calcolo, adoperando 

 una foiniola che somministri 1' integi-ale a indice qualunque di qualsi- 

 voglia funzione sussistente per tutti i valori della variabile. Tale formola, 

 che col cangiamento di segno dell'indice diventa quella di Laplace rap- 

 presentiuitc la derivata d' un dato ordine d'una funzione, può denotargli 

 il termine generale della serie degli integrali. Per essa ottiene gli integrali 

 di qualsivoglia ordine deUe funzioni semplici, la cui conoscenza fornisce 

 (|u<'lla delle derivate, e così adopera per e\àtar l'uso delle funzioni Eu- 

 leriane con le variabili negative. Per la derivata d'una potenza qualunque 

 ritrova la fonnula d'Eulero, ed avverte che la propria fonnula non può 

 somministrare le derivate d' ordine fratto delle potenze negative intere 

 (Iella vari;Jjile, prcsentuidosi il valore infinito. Per ottenere queste, ri- 

 l'orre alla derivati» del logaritmo, e ricava una fomiola compost;! lU due 

 parti, una trascendente, che svanisce per rincUce di derivazione intero 

 e vi rimane in tutti gli altri casi, e la seconda che si accorda col valore 

 ordinario. Esposte alcune altre sue deduzioni e considerazioni, l'autore 

 iusiUi i geometri ad occuparsi del di.scorso ramo di calcolo fecondo di 

 ricerche. 



