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 nel caso in cui le espressioni di l^i, ^^1,2„< fossero funzioni di due 

 o più variabili indipendenti. Ciò posto si può ragionare nel modo se- 

 guente. Se assumiamo 



?(-^) — X(j) = «, ; ? {.r) — 'P{u) = t^ecc., 

 le nuove (juantitó t^ , t^ evidentemente non variano al variare ài jc , 

 7, n, ecc., e perciò si debbono ritenere cestiniti. Ora se col soccorso 

 di fpieste eguaglianze si suppongano eliminate le variabili j, u, ecc. dalla 

 piimitiva funzione z, essa diviene funzione di .r, t , t^ ecc., cioè fun- 

 zione della sola variabile x. Dunque eliminando del pari j; «, ecc. 

 dalla j.roposla funzione A'-, essa si può riguardare come provenuta 

 dalla dillèrcnziazione di una funzione primitiva della sola variabile x, 

 e se ne avrà l'integrale totiile coli' integrarla rapporto ad .r, ed intro- 

 durre nel risultato le superiori espressioni dì t^ , t^ ecc. Evidentemente 

 le costanti arbitrarie portate daUe successive interazioni potranno es- 

 sere funzioni arbitrarie delle quantilii invariabili t , t^ ecc.. cioè 



Ma siccome l'espressione di un integrale totale m:""' si rende com- 

 pleti, coli' aggiungervi una funzione intera e razionale dì U del <Tado 

 m — 1, 1 cui coefficienti sono le m costanti arbitrarie introdotte^colia 

 ripetuta integi-azione, converri, a li sostituire la sua espressione 

 -•»•* + /(^ , '2 ecc.). cioè 

 ? C^) + / } ? (•^■) — X (j) , f (.r) — .| („) , ecc. { , 

 e a qneUe costanti arbitrarie si potranno surrogare, come ba osservato 

 1 Eulero, altrettante funzioni arbitrarie di sen. 2nnlì o di cos. in--' l 

 essendo n qualsivogUa numero intero, e n il rapporto deUa circonfe^ 

 renza al diametro. L'osservazione già esposta dal Brunacci , die per 

 completare T integrale finito di mia funzione di due variabili, nell.-. sup- 

 posizione degli incrementi costanti A.r=A: Aj = A-, conv-jene .sosti- 

 tuire alle costanti arbitrarie altrettante funzioni della rpiantitì. invaria- 

 1 1 "^ J 



Ti ^' '^'^^"^ "" corollario delia presente teorica. 



A questo metodo aggiunge l'autore l'indicazione di un altro mezzo 

 atto ad agevolare l'integrazione deUe funzioni aUe ilifferenze finite, per 

 cui non sia stata ass.mti. veruna ipotesi, come pure delle funzioni dif- 

 ferenziali a pu'. variabili: ma per brevità si limita ad oirrirnc un'idea 

 riguardo aUe ibHerenziali del primo orcUne. È palese che gU clementi 



