über die astrono>nische Brfractlon. 1 5 



welcher Ausdruck für s in die Diflferentialgleicliung der Refractiou [Gleichung 8) des ersten Abschnittes] 

 eingeführt, den rechts vom Gleichheitszeichen stehenden Ausdruck nur von der einzigen Variabclu x abliängig 

 macht. Die Integration der vorgelegten Differentialgleichung, welche schon die Form einer Quadratur hat, 

 stösst aber auf mannigfaltige Schwierigkeiten, es sollen daher in dem folgenden Abschnitte einige Reductions- 

 fornieln für die auftretenden Integrale zunächst in Betracht gezogen werden, um daim die ferneren Entwick- 

 lungen möglichst einfach zu gestalten. 



§. 5. Formeln zur Reductiou der auftretenden Integrale auf Entwicklung einiger Oamnia- 



fuuctionen. 



Die in den nachfolgenden Entwicklungen zur Behandlung kommenden bestimmten Integrale lassen sich 

 auf die Form: 



i 



lOO 



» (cotgc^+2J?'2/) 2 



1) 



zurückführen, in welcher m und r ganze positive Zahlen vorstellen, c die Basis der natürlichen Logarithmen 

 bedeutet, und n beliebige ganze oder gebrochene Werthe annehmen kann. Die Transformation dieser Form 

 auf Gammafunctionen soll die nächste Aufgabe sein. 



Zuerst soll der Fall erledigt werden, wenn m und r die Werthe annehmen. Setzt man: 



cotg z 



und führt die neue Variable t ein durch: 



ncotgz^+2nB'y = 2B't^ 



2t 

 HO wird man unter den gemachten Voraussetzungen über m und r aus 1 ) ohne Schwierigkeit erhalten: 



3) 



•^,(cotg22+2ii'«)V2 V«^' J ,- 



'<,(C0tg.^+2ii'y;.- , ..~ .^^/, 



wodurch die Integration des speciellen Falles der obigen Formel 1) mit Hilfe der unvollständigen Ganinia- 

 functionen erreicht ist. Da für diese letztere Hilfstafeln bestehen, so kann die Aufgabe als gelöst betrachtet 

 werden; setzt man der Kürze halber: 



SO kann man auch statt 4) schreiben: 



■W e-«B< = Uft„), 5) 



r ^'::^^ j_ /v^üiL^ Auf, 6) 



-J(cotg3^+2/iV)V2 sy2B' J((/+i/y/--^ \ nß' '''^' 



Es stellt sich nun die Aufgiibe, die allgemeine Formel 1) auf die spccielle 4) durch geeignete Keductions- 

 formcln zurückzuführen. Vor Allem wird man schreiben dürfen: 



re-""^y _ 1 I y-" e-''"3y „ 



■i,+l — 2,+! / 2,-+l '' 



(cotg z^+ 2 B'tjyr- (2B')-^r- o(,/+y)-T- 



