16 Th. V. Oppoizer , 



Differentiirt man den Ausdruck: 



'iEi' 



iiacli y, so erhält man leiclit: 



ym-ig-,,y ^ ,2r — U)f"-'e-""cii/ mj"'-'e-''"i>j (w — i)f/"'-=e-'"'8y 



3 2^ - — ['~Y') " ^iH lET "^ ' — !EJ — '~ '■> ^^ 



mnltiplioirt inan in den beiden letzten Gliedern Zähler und Nenner mit (j/'^ + y) und vereinigt alles Zusammen- 

 gehörige, so findet sich zunächst: 



— - - '> \— 5;=r ^TTT ".'/ + -T> 0"- 1 ) Ö//+ • '■' ^ ^ 



2,-1-1 — ) 2,— 1 ( 2,H-I /".' v« ' ^ Y .7 ' 2,.+ t 



{<ß-^y)~ W+y)~^ {f+yJ^ " ' if+y)~ 



integrirt man unter Berücksichtigung der Grenzen, so findet sicli sofort die wichtige Relation : 



1 y"'e.~"vdy _ /^ 2(r — m) + l\ly"-''e-""dy ^.y^ly"'^~e~"''(ly 



I 17+r — [y "• 2^1 I) ^-^^^ +('« — 1 ) -— / jiq^j- > 



((f-^y) 2 {(f+y) 2 " iy^ + y) -' 



9) 



durch weiche man in die Lage gesetzt ist, die Potenzen von // im Zähler herabzumindern, ohne den Expo- 

 nenten des Nenners zu ändern. Die wiederholte Anwendung von 9) muss demnach unter den gemachten 

 Voraussetzungen Integrale von der einfacheren Form: 



(fy2 + ?/) 2 



finden lassen. Eine Ausnahme jedoch wird der Fall m ^ 1 bedingen, der in der Reductionsformel auf eine 

 Unbestimmtheit hinführen würde. Setzt ninn in der Gleichung 8) aber (in — 1) der Null gleich und integrirt 

 nachher, so findet sich sofort für den erwähnten Ausnahmefall («; = !): 



yer-Vhy _ 1 / , 2r— 1^ e-^hy 



-oo 



f ^^ "^ -_!: (,,^ +"'—")/ " "^ ■ 11) 



((/2-+-t/) 2 -^ -^0 (J/^-^y) 2 



Mit Rücksicht auf die Resultate der Gleichungen 9) und 11) bedarf demnach nur die Form 10~) allein 

 weiterer Reductiduen, um die Form 1) auf Gammafimclioueu zurückzul'iihren. Kehrt man zu Gleichung 8) 

 zurück und setzt in derselben m — 1 = 0, so erhält man: 



8y _ _ / 2 A , e^l , 2» _e-^ny 



{(/-^y) 2 - \y^+y) ■' ' {y^+y) - 



integrirt man nun und setzt die Grenzen ein, so findet sich: 



/oo ^oo 



e-^^'^y _ 2 2u i e~-'dy 



-v+i ,2,-— 1)0-'-' 2r—lJ . :'Szl' ' 



womit die Möglichkeit geboten ist, durch fortgesetzte Anwendung dieser Reductionsformel den Exponenten 

 des Nenners auf die einfache Quadratwurzel zurückzuführen und hiemit die in 6) auf Gammafunetionen redu- 

 cirte Form zu erreichen. Mit Hilfe der Formeln 9), 11) und 12) hat also die Reduction der Integrale von der 

 Form 1) auf unvollständige Gammafunetionen, deren numerische Wertlie tabulirt sind, keine weiteren 

 Schwierigkeiten. Hilfstafeln dieser Art sind mehrfach veröffentlicht, auf lü Stellen berechnet findet sich eine 



