18 Th. V. Oppolzer, 



lauge p > m ist, da ja für eine arithmetische Reihe ;«ter Ordnung die (/«-i-l)^ und die folgenden DifiFerenz- 

 reihen der Null gleich sein müssen. Nun gehören in den von der Gammafunction freien Gliedern in 13) die 

 für die verschiedenen n geltenden Zähler bis zum vorletzten Gliede inclusive nur einer arithmetischen Reihe 

 (/• — l)ter Ordnung zu; man kann daher behaupten, dass die Relation gilt: 



In der Folge spielt der speciellc Fall «^1, y; = r die wichtigste Rolle; specialisirt man dem entspre- 

 chend die Formel 15) und fuhrt statt r/^ den Ausdruck nach 2) ein, so findet sich 



/ 



g-.v(l_,-.v)-3^ _ (-l)-V B' , .,^ V ,y (ry/r- w . ( . Iß) 



o{(iotgz^+2B'tj) ■' 



Schliesslich führe ich einige der bekannten Reihenausdrücke, die unter Umständen bei der Entwicklung 

 der Ganunafunctionen von Nutzen sind, hier kurz an: 



,-.8,= r__^._____ + ... 17) 



f 



T 



i 







~«fl — flüii J_ 1-3 1-3.5 . 



e di! _ 2y |1— ^yj + ^-gj^ — ^2^,2^., + ... |; 18) 



letztere Reihe gehört in die Kategorie der halbconvergenten Reihen. 



§. 6. Eiitwickluiig des Hauptgliedes der Refraetion. 



Die schon im §. 2 angeführte Pifferentialgleichung für die Refraetion lautet: 



.,, a(l— s)siiig8a; 



'" {1 — 2a(l-A-)ncos3«— 2a(l— ic) + (26— s*)sin2*|V2 ■ ^ 



In dieser Differentialgleichung ist nun für.s die in g. 4 dargestellte Relation 8) (pag. 14) einzuführen; hie- 

 durcl) ist rechter Hand vom Gleichheitszeichen alles durch Functionen der einen Variablen x ausgedrückt; 

 integrirt man demnach den Ausdruck nach x und setzt die Grenzen und 1 ein, so ist der Ausdruck für die 

 Refraetion gefunden. Die Integration würde indessen bei der eben hingesciiriel)enen Form auf einige 

 Schwierigkeiten stossen, die aber wesentlich vermindert werden können, wenn man einige kleine Glieder 

 ablöst,die im Endresultate wenig ausmachen und schliesslich als Zusatzglieder in Rechnung gebracht werden 

 können. 



Vorerst kann man schreiben: 



« _ a «\1— 2x) 



1— 2a(^l— X) 1 — a 1,1 — «) 



2 



2) 



wobei man mit den angesetzten Gliedern der Reihe ausreicht, da der numerische Werth von a : (1 — a,, die 

 „Coustante der Refraetion", klein ist und den Werth einer Bogenminute unter mittleren Temperaturverhält- 

 nissen nicht erreicht. 



Weiter wird mau beachten, da s nothwendig innerhalb der merklich dichten Luftschichten klein sein 

 muss, dass man, ohne mehr als Grössen dritter Ordnung von ä zu vernachlässigen, sclireiben kann: 



