Beiträge zur Phijsiologie der Muskeln. 223 



Damit ist die Daistellnng gewonnen: 



D — il— \/d^—2hdsiB ^+2Ä*(1— cos 3), 3) 



Set/t man darin: 



/ I i 1 



y/rf2_2 /„/ sin ^ + 2/(H.l— cos 3) = </[ 1— 2 -^ sin ^ + 2 -i^ (1— cos ^l]? 



= rf— /tsin3+ -7 (1— cos^)-|-. . ., 4) 



d 



wobei bemerkt sein mag, dass diese Entwicklung convergirt, solange |2A(/sin3- — 2A*(1 — cos ^) | <d^ ist, 

 so ergibt sich fUr v eine Darstellung von der Form 



V = h sin j (1 — cos 3)+ . . . 5) 



Nunmehr ist wesentlich zu bemerken, dass flir die hier beabsichtigten Anwendungen schon das Glied 

 h sin 3, welches mit v bezeichnet wird, die Grösse v mit hinreichender Genauigkeit darstellt. 



Dies zu begründen diene das Folgende: 



In dem vorhin angedeuteten Bereiche für 3, dessen genaue Bestimmung für das Weitere nicht erforder- 

 lich ist, findet für die Differenz v—v eine Entwicklung nach ganzen positiven Potenzen von 3 statt, von 

 der Form: 



,... = il,.+ ..... .6) 



welche bereits erkennen lässt, dass für hinreichend kleine Werthe von 5 ö grösser ist als v, die Differenz 

 v — v mit positivem ^ zugleich wächst und abnimmt, und durch Verkleinerung von 3 beliebig klein gemacht 

 werden kann. 



Betrachtet man den aus 3. sich ergebenden Ausdruck 



v—v = {d—h sin 5) j v/ 1 . / A(l-co3 ^K '_i j _ ^. 



'^ ^ "^ l (7— /* sin 5 ; ' ^ 



wobei die Wurzel wie in 3) positiv zu nehmen ist, so ersieht man sofort, dass für d>h durchweg v>v ist. 

 Ob aber die Differenz v—r für alle in Betracht kommenden Werthe von ^ mit ^ zugleich zunimmt oder 



nicht, ist aus 7) nicht unmittelbar zu erkennen, weil mit wachsendem S- im Intervalle 0-c^<-^ der erste 

 Factor der rechten Seite kleiner, der zweite dagegen grösser wird. 

 Um dies zu entscheiden bilde mau die Ableitungen 



d'v , „ dv h(d cos 3 — h sin 3) „. 



(13 d3 \/d^— 2 hd sin 3+2 h\l— cos 3)' 



Im Intervalle < ^ < arctg - , wobei arctg y im Intervalle bis - liegt, sind beide Ableitungen posi- 



tiv; zu ihrer Yergleichung können daher in demselben Sinne der Ungleichheit auch die Quadrate benutzt wer- 

 den, und lässt sich nun in der That zeigen, dass in dem eben angegebenen Intervalle für 3 



,, „, h.^{d cos 3 — Asin.3-)^ _ . „> 



(h cos 5)*— ■„ ^,\ ■ . — ,,,,,, ^ > 9) 



^ (/*— 2/((/sin cf+2Ä^(l — cos ^1 



ist. Da der Nenner d'^ — 2 hd sin 3-i-2h^(l~ cos 3) für alle reellen Werthe von 3 von Null verschieden ist, 

 so ist 9) nach Weglassung des Factors h^ gleichbedeutend mit: 



2d sin 3 cos 3{l~ cos 3) — /t(^sin* 3 — 2 cos" 3 + 2 cos-'' 3)>'0. lUj 



