4 Victor Sersawij, 



so verwandelt sich die Gleichung (5) in folgende : 



8 c,- 8 c,- 



ox oy 



und durch dieselbe ist ausgesprochen, dass sich die Parameter c gegenüber der Operation : 



tu 8m /7\ 



Du = — + rj. — i') 



ox oy 



als Constante verhalten sollen, das heisst, dass sie als Functionen von f allein anzusehen sind. Es wird 

 nämlich: 



^^-l + ^f 



und demzufolge /■ die Integrationsconstante der Differentialgleichung: 



Dy = iJ.. (8) 



Damit das System (6) integrirt werden könne, ist also erforderlich, dass die aus demselben fliessenden 



Sc- 

 Werthe der Ableitungen -^ sich als Functionen von /' und von den c erweisen. Um zu sehen, wann dies der 



Fall ist, ersetzen wir in der ersten Zeile in (6) y durch seinen aus (8) folgenden Werth in f und x, und diffe- 



rentiiren dann nach x oder, was dasselbe ist, wir unterziehen die genannten Gleichungen der Operation JJ. 



Sc- 

 Betrachten wir hiebei die -^ als Functionen von f, also als Constante gegenüber der Operation D, so muss 



das Resultat dieser Rechnung vermöge der (6) identisch Null werden, falls die gemachten Annahmen überhaupt 

 zulässig sind. — Es ist nun 



'^ 8 («, ß) 8c, _ '^ 8 (g+l, 13) 8c, _^ ^'^ djoc, ß + 1) 2c. 



^L~^^ ^f~Z. 8c, tf'^^L' 



Sc, df 



I ,=1 ,=1 



und die rechte Seite dieser Gleichung verschwindet mit Rücksicht auf (6) identisch, so lange a+ß ^ p — 1- 

 Die in der ersten Zeile von (6) enthaltenen Relationen enthalten also x dann nicht, wenn dasselbe in den 

 Gleichungen der zweiten Zeile nicht enthalten ist. — Die Möglichkeit, das System (6) zu integriren, hängt 

 also in letzter Linie davon ab, ob in den/j-Gleichungen, welche durch die zweite Zeile in (6) vertreten sind, x 

 noch auftritt oder nicht. 



Bevor wir die Entscheidung dieser Frage unternehmen, müssen wir einige Bemerkungen vorausschicken, 

 welche blos von den Zahlenverhältnissen des Problemes abhängig sind. 



Vor Allem ist nämlich klar, dass v — die Anzahl der Parameter c — unter die Zahl der von einander 



unabhängigen Gleichungen des Systemes (6) nicht herabsinken kann, da die Unbekannten -^ in denselben 

 homogen enthalten sind, sonach 



und daher nichts anderes folgen würde als das Integrale, von dem wir ausgegangen sind. Bedenkt man nun, 

 dass der Voraussetzung nach das 3 der Gleichung [2) ein Integrale von (1) ist und daher durch die aus (2) 

 abgeleiteten Werthe der (a, ß) identisch die Relationen: 



",9 



erfüllt sein müssen, so ergibt sich vermöge elementarer Betrachtungen, welche herzusetzen nicht nöthig ist, 

 dass immer dann, wenn aus den Gleichungen für die («, ß) eine andere als die gegebene Gleichung: y = 



