6 Victor Sersaivy , 



Diese aber ist identisch mit der Gleichung (7) [p. 36, der {A.)], so dass die ^) Werthe, welche für /;. 

 gesetzt werden können, mit den Wurzeln 



\,\,. . . .Ap 



der eben citirten Gleichung zusammenfallen. Es können also auch p im Allgemeinen verschiedene Systeme 

 (6) aufgestellt werden. 



Bezüglich dieser erübrigt noch zu untersuchen, unter welchen Umständen in den Gleichungen, welche in 

 der zweiten Zeile von (6) enthalten sind , x nicht mehr vertreten ist. 



Denken wir uns das allgemeine Integrale der Gleichung (1) bekannt. Dann kann man beliebig viele par- 

 ticuläre Integrale ableiten, indem mnn die willkürlichen Functionen des allgemeinen Integrales durch con- 

 creto Functionen der in ihnen enthaltenen Argumente ersetzt. In die allgemeine Lösung treten p willkürliche 

 Functionen ein, deren jede nur von einem, im Übrigen durch die (^A.) vollständig definirten Argumente 

 abhängig ist. Diese Argumente sind nämlich die Integrationsconstanten )j^\ yP,----yo'^ der ^j möglichen 

 Differentialsysteme : 



dy__ ilL^y 'Il — \ 



dx- '' dx -^'••••' dx~ "" 



worin \,\,...., \, die Wurzeln der schon im vorigen Artikel erwähnten Gleichung 



P(X) = 2 (-1)^- ^^^ X.-.- = , [(.!.;, p. 36 (7)] 



bedeuten. Es möge der Einfachheit wegen vorausgesetzt werden, dass die Wurzeln dieser Gleichung sämmt- 

 lich unter einander verschieden sind. 



Enthält also die allgemeine Lösung die willkürlichen Functionen 



so entsteht irgend ein particuläres Integrale, wenn man die Formen <1),, 4>2,. . . ., <&;, in irgend einer Weise 

 indindualisirt, das heisst sie durch concreto Functionsformen mit beliebig vielen Parametern ersetzt. Denken 

 wir uns dabei auf irgend eine Weise kenntlich gemacht, von welcher der Functionen Oj die einzelnen Para- 

 meter herrühren, so ist es umgekehrt auch nicht schwer, aus dem vorliegenden particuläreu Integrale wieder 

 eine allgemeine Lösung zu gewinnen. Dazu genügt es offenbar, die aus <1>, herrührenden Parameter durch 

 Functionen von </(|) zu ersetzen, welche sich dann entweder wegen ihrer Willkürlichkeit sofort durch eine 

 einzige Function von yW ersetzen lassen oder, wenn dies nicht der Fall ist, gewissen Bedingungen genügen 

 müssen. Diese Bedingungen reduciren die Zahl der eingeführten Functionen wieder mxi p und sind im Wesent- 

 lichen mit den weiter unten zu entwickelnden identisch. 



Anders verhält es sich jedoch, wenn die Abkunft der Parameter nicht bekannt ist; man muss dann jeden- 

 falls auf den Process zurückgreifen, der zum allgemeinen Integrale führt. Ich werde also diesen Process in 

 Kurzem recapitnliren , um zunächst zu zeigen, wie vermöge desselben ein vollständiges Integrale gewonnen 

 werden kann und dann umgekehrt das Verfahren aufzusuchen, vermittelst dessen man aus dem vollständigen 

 Integrale wieder das allgemeine gewinnen kann. 



Dieser Process wird eingeleitet durch Integration eines gewissen Systemes von gewöhnlichen Differential- 



gleichungen, welches in allen seinen Bestandth eilen durch den Werth des Quotienten -j- definirt erscheint. 



dx 



