8 Victor Sersawy, 



deren Argumente den übrigen Systemen entnommen sind, herrührenden Bestandtheile verschwunden sein. Das 

 System (12) und (13) regelt also nur mehr die Relationen zwischen den Integratiousconstanten des ersten 

 Systcmes oder mit anderen Werthen, die zwischen den Constanten eines und desselben Systemes ein- 

 zuführenden Beziehungen können separat, das heisst, unabhängig von den Beziehungen, welche in den 

 anderen Systemen herrschen, ermittelt werden. 



Setzt man nun einerseits in das vorhandene Integralsystem von (9) und andererseits in die Definitions- 

 gleichungen für die unbestimmten Grössen (10), wo die Constauten f vorkommen, deren soeben gefundenen 

 Werthe ein, so entsteht ein System von Werthen, aus welchem (seiner Ableitung zufolge) die willkürlichen 

 Functionen nur auf eine Weise eliminirt werden können, nämlich auf die Weise, dass (1) als Resultat erscheint. 

 Das System dieser Werthe — dasselbe, welches in (Ä.) als das definitive Integralsystem bezeichnet wurde, - — 

 kann also mit Ausnahme der gegebenen, keiner anderen partiellen Ditferentialgleichung von ^ter oder niederer 

 Ordnung Geniige leisten, welche keine anderen Parameter enthält als die in (1) von Vornherein enthaltenen. 

 Diese Eigenschaft besitzt das definitive lutegralsystem auch dann, wenn man die willkürlichen Functionen, 

 die in demselben vorkommen, specialisirt. Führt man also statt der willkürlichen Functionen concrete mit 

 willkürlichen Parametern ein, so erhält man ein particuläres Integrale und dasselbe wird insbesondere ein 

 vollständiges Integrale im Sinne des vorigen Artikels, wenn die Zahl der eingeführten Parameter, die wir 

 durch 7,, y^,. . . .7^ bezeichnen wollen, 



beträgt. Zugleich ist klar, dass die Gleichungen (12) und (13), ob sie nun ans der allgemeinen oder aus der 

 particulären Form des definitiven Integralsystems entwickelt werden, in beiden Fällen kein x mehr enthalten 

 können. 



Das so erhaltene Integrale ist also eine Function von x, «/(|\ 7j,. . . .7^ und erhält, indem man y(^^'' durch 

 seinen Wertb in x und y ersetzt, die in (2) gegebene Form. 



Um nun umgekehrt aus diesem Integrale wieder das allgemeine herzustellen, erinnern wir zunächst daran, 

 dass das System der Gleichungen (12) und (13) von den willkürlichen Bestandtheilen des 2^^^, 3te^,. . . .^jten 

 Systemes unabhängig ist und die Constanten des ersten Systemes unter sich eben in jene Beziehungen bringt, 

 vermöge welcher das Integralsystem von (9) ein definitives Integralsystem zu werden befähigt wird. Demnach 

 können wir die willkürlichen Parameter des gefundeneu Integrales zunächst als Functionen von i/(J^ ansehen 

 und haben dieselben dann den Bedingungen (12) und (13) anzupassen. Setzen wir, um Weitläufigkeiten zu 

 vermeiden, ein für allemal voraus, dass das Integral, von dem wir ausgehen, ein vollständiges Integral ist, so 

 muss dann System (12), (13) stets integrabel sein, das heisst, ersetzen wir in diesem Systeme y durch seinen 

 aus (9) fliessenden Werth in </(^' und x, so muss aus demselben x entfallen. Dasselbe lässt sich also in die 

 Form bringen : 



'hl — th— —th 



r, \\ r„ 



worin 1',, I'^, . . . .r„ Functionen der 7j, 72- • • • allein bedeuten. Eine der Grössen 7,, kann als willkürliche 

 Function von i/^^ angesehen werden, setzen wir also 



WO ^ willkürli(;h ist, so ist das System vollständig bestimmt und die Integration desselben liefert die Relationen 

 welche zwischen den 7 bestehen müssen, damit das vollständige Integrale in das allgemeine übergehe. 



Um die analogen Beziehungen für die {j) — 1) übrigen Systeme zu finden, versehen wir die Integrale des 

 zuletzt genannten Systemes mit Integrationsconstanten, 7,[ 7.^. . . .•)[. Setzen wir die so erhaltenen Werthe der 

 Grössen 7,,.. -7« in das vollständige Integrale ein, von dem wir ausgegangen sind, so verwandelt sich 

 dasselbe in einen Ausdruck, welcher eine willkürliche Function aus dem ersten Systeme, und ausserdem 



