18 Victor Sersawy, 



Diesen Gleicliungen sind diejenigen anzufügen, welche vermöge der Operation D aus den beiden letzten 

 entstellen: 



0= 25a+2ßb-\-&xoA +Q{y+xiJ.)oB+6iJ.yoC 



0= 25b +6xoB+6(!j+.vix)oC 



sowie die Relation 



= 'JÄ +3a5B+3a^ÖC, 



welcher die Parameter A, B, C von Vornherein genügen müssen. Die Determinante dieses Systemes ist von 



einem nicht verschwindenden Factor abgesehen, gleich (,u — a.y, so dass wir für X, — wie übrigens voraus- 

 zusehen war — , wieder den Werth a erhalten. 

 Danach berechnet man: 



öß — ?>f5G, 5a = ßa.f5C, 5b = —3f5C, 5A = 3aV}C, 5B = —2a5C, 



und, wenn 



5C = x'"(f)5f 

 gesetzt wird, 



sz=6<f {i/—ccx) + 6jx(!J—a.i^ + ß'.r-\-a'x^ + 2b'xi/ + A'x'^+3B'x^!j + 3C"xu^ 



A'+3aB'+3a^C' = 0. 



Diese Lösung ist nun in derselben Weise weiter zu behandeln. Um am besten zu erkennen, wie die 

 Reduction der Constanten vorgenommen werden soll, ersetzen wir in dem voranstehenden Ausdrucke i/ durch 

 f+ax, wodurch sich derselbe auf die Form 



z =: 6f-i-6xx + xL+x^M 



zusammenzieht, in welcher L und il/ nur von /' abhängige Grössen sind. Man kann sonach, ohne die All- 

 gemeinheit des Resultates zu beschränken, das Glied xL in x-/_(f) einbeziehen, dass heisst, mau kann die 

 Glieder 



ß'x+2b'x!/+3C'x!/^ 



weglassen, da ihre Anwesenheit die gefundene Lösung nicht allgemeiner macht. Also haben wir die Lösung 



z ^f (y—ax) + ,r/_(// — a.r) + ax^ + Ax^ + ZB.i^y, ^ + 3aß = 



in derselben Weise weiter zu behandeln. Demnach bilden wir die Variation der voranstehenden Lösung: 



= x''5a+x^5A+3x^y5B, 



operiren dann mit D an dieser Gleichung, woraus, wenn man zuerst mit x^ dividirt, folgt: 



= 5A+31I.5B 



und verbinden hiemit noch die Bedingungsgleichung 



= 5A^3(x5B. 



Man erkennt sofort, das [kz^ u sein muss und erhält dann 



5A — —3cc5B, 5a = —3f5B, 



sowie endlich die allgemeine Lösung: 



z =: y(y — ax)+x-/_{y — ixx)+x^^(y — ax) 



Dasselbe Verfahren auf das vollständige Integrale: 



= « + ßx+yy + f/'^x^-i-2paxy + i^y^ 



