über den Zusaiiiii/cnhcDicj zivischen den vollsfändüjen Integralen u. s. ic. 19 



der Gleichung 



rt—s* = 

 angewendet, gibt zunächst für z die Form : 



z = c('+,5'.r + '/// + i}i(y + ^';r), // + o'r = f 

 worin x' ß' y' d' die Constanten der ersten Integration bedeuten. Reducirt man diesen Ausdruck auf die Form: 



z = Ax + f{u + Bx), y + B.C = f, 

 so folgt zunächst durch Variation der Parameter 



— §A + f'{y+Bj)QB, 

 welche Gleichung durch die Operation D identisch wird. Sie zeigt, dass 



y + B.c = <^{B) 

 sein muss. — Die hieraus folgende Bezeichnung für .4 führt leicht auf die bekannte Lösung. 



Zweiter Abschnitt. 

 Das allgemeine Problem mit q-Iudepeudenteu. 



8. 



Das im vorigen Abschnitte entwickelte Verfahren kann bei Problemen mit q Independenten nicht ohne- 

 wciters beibehalten werden. Es ist nämlich m (A.) gezeigt worden, dnss die willkürlichen Functionen der 

 allgemeinen Lösung nicht von Einem Argumente abhängen, wie dies bei Differentialgleichungen mit zwei 

 Independenten stets der Fall ist, sondern im Allgemeinen mehr als ein Argument enthalten, wobei die Anzahl 

 der Argumente in einer und derselben Lösung, je nach dem Integralsysteme, welchem die eben in Rede 

 stehende willkürliche Function angehört, alle ganzen Zahlen von 1 bis q — 1 betragen kann. Dies hat 

 insbesondere zur Folge, dass aus dem Lagrange'schen Verfahren allein auf die Anzahl der nothweudigen 

 Parameter und daher auch auf die Natur der für selbe aufzustellenden Differentialsysteme nicht geschlossen 

 werden kann. Dagegen ergibt sich der gesuchte Zusammenhang zwischen den vollständigen Lösungen und 

 dem allgemeinen Integrale leicht aus den Ergebnissen der in (^A.) angestellten Untersuchungen, was im Fol- 

 genden zu zeigen meine Absicht ist. 



Seien also wieder c,, c^,. . .c„ willkürliche Parameter in vorläufig unbestimmter Zahl und ist: 



/0, 0, ...0\ ^. . ,,. 



^ = il,2,...^j = -^(*i'*2'---% c„C2,...c„) (1) 



ein Integrale der partiellen Differentialgleichung ^jter Ordnung mit q Independenten: 



0= f[x^,x^,.. ..r,; (0,0,... 0), , («pS»- ■ -«s);- • •]; «i + ■ ••+«5^i') (2) 



so bestehen identisch die Gleichungen, welche entstehen, wenn man in den folgenden Formeln: 



_ V h S(«„ V y 3y a(|3,--.l3,) 



^H^ «,)■ 2'V -^^d{ß„...ß,y 8c, ^^ 



für k der Reihe nach 1, 2,. . .q und für i die Zahlen 1,2,.. .v einsetzt. ' 



1 Es ist hiebei die in (.1.) [p. CO ff.] gebrauchte Bpzeiclinung'äweiso beibehalten, das heisat, ea sind die Ablcitun- 

 !jeu jji'"' Ordnung von * durch (,1^,. . , .^,j), alle anderen von niederer als der jA"* Ordnung durch (aj, a^,. . . .«j) bezeichnet 



c* 



