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In der That, werden in (3) und (4) die Ableitungen («,...«) und (ß,,. . .ß,^) durch ihre aus (1) fliessen- 

 den Werthe ersetzt, so sagen die gedachten Gleicliungen nichts anderes aus, als dass aus (2) dann sowohl 

 .Xj als auch die rarameter <■^, c^,. . .c, entfallen, was eben wegen der über z gemachten Voraus- 



x^, .r^,. . ..t/j ci.u tvi..^u v.1^ i c. c.iü^..v^. .j, . j. 



Setzung nothwendig der Fall sein muss. 



Um nun aus der bekannten Lösung (1) eine allgemeinere abzuleiten, betrachten wir die willkürlichen 

 Parameter c,, c^,. . .c„ als Functionen von ,r,, x^,. . .x,, und untersuchen, wann und wie es möglich ist, dieselben 

 so zu bestimmen, dass: 



1=1 1=1 



da dann, wie bekannt, w abermals ein Integrale der gegebenen Gleichung ist. Zunächst ist klar, dass sich aus 

 den Werthen ^, wie sie sich aus den voranstellenden Relationen ergeben, die Werthe der t-, selbst nur dann 



OJ-'k 



8c,- 8c,- Sc,- 



8^' 8^'" ■ ■' 8x^ 



gefandenen Werthe sich in der Tbat als Derivirte einer Function r-, der Argumente: x^,x^, . . .x^ darstellen 

 lassen. Die Parameter c, mlissen also ausser den (5) auch noch gewissen Integrabilitäts-Bedingungen geniigen, 

 welche übrigens erhalten werden, wenn man die Formel: 



8 ry 8(a„... «,) _8cv n "d r '-^^ 8 («^ . . . «,) 8c, -| 



"dxXL: 8f' ' Sa^xJ 8.c,LZj 8'V S-'J 



1=1 1=1 



entwickelt und hierauf l und k alle ganzzahligen Werthe von 1 bis q annehmen lässt. 

 So entstehen die Gleichungen : 



Q _ "O 8(«j,. . .st/, + 1,. ■ -a,,) 8c,- Y* 8(o:,,. . .«».4-1,. . ■ o:,^) 8c. 



~" Zj 8(v "dxx Zj 8c,- BaJi.' 



1=1 1=1 



Wie ersichtlich, sind diejenigen unter ihnen, bei denen 



a^+ . . . +«/,+ . . . -\-aj<p — 1, 

 dnrch die (5) identisch erfüllt. Neue Bedingungen entstehen nur für 



a, + . . . +ai-4- . . . +a,^ =^J — 1. 



Also folgen die Integrabilitätsbedingungen : 



^Jy 8(«.,...«..+ l,...S^ 3c,_y 8(«.,... «.+ !,...«,) 8c. ^ _ ^^^^ _ _ ^ j ^6) 



Z_i 8 c,- 8.C^ Zj 8 c,- 8;C// 



,-=1 1=1 



und diese bilden mit den (5) zusammen den Inbegriff aller Forderungen, denen die r genügen müssen. 



worden. Sonach ist die erste Summe in den Formeln (3) und (4) über alle («,,.... a,/i zu erstrecken, welche der 

 Bedingung 



aj+ +ajSi'— 1 



genügen, während bezüglich der ß die Bedingung 



ß, + ,...+ (5,=^. 

 festzuhalten ist. 



