Ü/jrr den Zusanimenhang zirhdien den roJhtändicjen Lifa/inJen ii. .s. w. 25 



im Allgemeinen uiclit gleichzeitig existiren können. Vielmelir lässt sich aus denselben ein Theil von solchen 

 Gleichungen ausscheiden, welche untereinander verträglich sind und gestalten, die Grössen p. sowie die 

 Factoren [ß,,. . .ßi— 1,. . .|3,] zu berechnen. Hiebei ergibt sich, dass die Grössen ij.^, jx^ . . . . ix., ein Wurzel- 

 system der eben defiuirten Art constituiren müssen. Indem wir auf den Inhiilt des vorigen Artikels zurück- 

 greifen, sehen wir also, dass, wenn die gegebene Gleichung durch die Integrale des Systemes (11) und (12) 

 überhaupt soll befriedigt werden können, dass dann zunächst der Complex der p.-Werthe mit einem der oben 

 aufgestellten p Complexe von X-Werthen zusammenfallen muss. Danach können also alle ;; Wurzelsystenie 

 an Stelle der fx eingeführt werden. 



Es ist nun möglich, dass bei einer bestimmten Auswahl dieser Wurzelsysteme die Gleichungen (13) 

 liir alle j) Complexe von Wurzelwerthen sowie für alle Complexionen (ß, ,. . .ß,j) der ^jten Ordnung giltig sind. 

 In diesem Falle lässt sich der Ausdruck 



V t^ 



:({^ [vcrgl. (.1.) p. 81] 



A8(i5,,ß„...ß,)-' ■ 

 in p lineare Factoren zerlegen, denn es ist dann: 



=1 



>ii=i 



(15) 



und auf diesen Fall wollen wir uns, um einfacher im Ausdrucke bleiben zu können, vorderhand beschränken. 

 Wir scliliessen sonach von den folgenden Betrachtungen zunächst alle jene Probleme aus, bei welchen es keine 

 Eintheiluug der X-Werthe im^j Systeme gibt von der Beschatfenheit, dass die Zerlegung (15) stattfinde, es sind 

 dies zugleich jene Gleichungen, bei denen die aus den Relationen (11) und (12) fliessenden Werthe der Para- 

 meter die gegebene Gleichung (2) Art. 8, nicht identisch erfüllen. 

 Dies vorangeschickt, ist nun das Differentialsystem: 



(]t, 



Ä.r, = — —Äf., Ä:=2,3,...y 

 /),(«,,. . .a,,. . .«,;) = y Xl.(a, ,. . .«. + 1,. . .«,;), a,+ . . . -^a,:+ . . . -f-a, <^J-1 (/) 



/ 



'f 



. a^, ...a^] D, (a, , . . . c..+ 1, • • . a,) = — " ^' , «, + ...+«,+ ... -^-a, = ^J— 1 



zu integriren. Es enthält um 



So 



Hl) 



Gleichungen weniger als zu bestimmende Grössen und wird integrirt, indem alle Grössen ^>t«r Ordnung mit 

 Ausnahme der eiuzifferigcn (1), (2), ■ . .{q) als unbestimmte Functionen der Independeuteu .r, angesehen 

 werden. Die Integralgleichungen enthalten also diese unbestimmten Grössen nicht nur als Fuuctionsargumente 

 im gewöhnlichen Sinne, sondern auch unter Integralzeichen. Die unbestimmten Functionen müssen im Verlaufe 

 der Rechnung so bestimmt werden, dass die Gleichungen: 



'J(aj,. . .ai,. . .cc,j) = y («n- ■ •«/. + !)• • •«?)'5a;/.-; '^-1+ ■ ■ ■ +«4-+- . . . +äj <^; (16) 



x^ nicht mehr enthalten, oder was dasselbe ist, dass die Ausdrücke 



Z(a,,. . .a,) = y [/,!/}(«„. . .x,-f-l,. . .«,)— I>,^a„...a, + l,...a,)oV,], «,+ ... +a,+ ... +ot,^ = p—l (^IT) 



DeokscUnflen der matbem.-naturw. CiL LIII. Bil. Abhaudlungeu von Niclitniügliodoru. (i 



