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identisch den Wertb Null annelimen. Man findet die allgemeinsten Werthe der unbestimmten Functionen durch 

 eine Reihe von Operationen, welche in (J..) ausführlich beschrieben und dort als die Zerlegung der gegebenen 

 Gleichung in ihre wesentlichen Integrale erster, zweiter Stufe u. s.w. bezeichnet worden sind. Die Annahmen, 

 welche kurz vorher gemacht worden sind, haben zur Folge, dass die genannte Zerlegung durch alle Stufen 

 hindurch ausgeführt werden kann. Denken wir uns die gegebene Differentialgleichung in ihre wesentlichen 

 Integrale erster Stufe nach dem Systeme (P) zerlegt, diese in die wesentlichen Integrale zweiter Stufe nach 

 dem Systeme (-P— 1) u. s. f., so gelangen wir schliesslich dahin, die Integrale der (p — l)ten Stufe in ihre 

 wesentlichen Integrale ^jter Stufe nach dem Systeme (l) zu zerlegen. Diese letztgenannte Operation erfordert 

 die Integration eines DitTerentialsystemes, welches so viel Gleichungen besitzt als zu bestimmende Grössen, 

 also vollständig ist und insbesondere als eine Vervollständigung des oben angeführten unvollständigen 

 Systemes (i) betrachtet werden kann. Betrachten wir die Integralgleichungen dieses Systemes in dem 

 Zustande, in welchem sie unmittelbar aus der Integration hervorgeben, das heisst in dem Zustande, in 

 welchem zwischen den Integrationsconstanten noch keine Relationen eingeführt worden sind, so besitzen 

 wir in den Wertbeii, welche die bisher unbestimmten Funtionen in diesem Systeme erhalten, eben jene 

 gesuchten Werthe, welche die Ausdrücke Z{a^,...a^ identisch zu Null machen. Setzt man also tiir die 

 Grössen des Problemes, deren Werthe aus dem letzten Integralsysteme, so enthalten die Gleichungen (16) a:, 

 nicht mehr und die Integration derselben liefert die Relationen zwischen den Integrationsconstanten, welche 

 das vorliegende Integralsystem in das definitive verwandeln. Es treten bei diesen Operationen p willkürliche 

 Functionen ein und da hier allein Gelegenheit ist, willkürliche Functionen einzuführen, so ist klar, dass jedes 

 particuläre Integrale durch Specialisirung dieser willkürlichen Functionen erreichbar sein muss. Es kann also 

 auch ein jedes beliebig vorgegebene vollständige Integrale nur auf diesem Wege aus der allgemeinen Lösung 

 abgeleitet werden. 



Das definitive Integralsystem ist vermöge seiner Entstehung so beschaffen, dass durch Elimination der 

 willkürlichen Bestandtheile nur Eine, und zwar die gegebene Differentialgleichung entstehen kann, und es 

 behält diese Eigenschaft selbstverständlich auch dann bei, wenn an Stelle der willkürlichen Functionen 

 concrete Functionen mit beliebig vielen Parametern eingesetzt werden. Es ist aber klar, dass im letzteren 

 Falle sobald irgend einer der eingeführten Parameter eliminirt wird, mit ihm zugleich eine gewisse Anzahl 

 jener Parameter, welche derselben willkürlichen Function entspringen, zum Ausfall kommen muss, so dass 

 sich die Anzahl der in einem vollständigen Integrale nothwendiger Weise enthaltenen Parameter auf die 

 Anzahl der aus dem Integralsysteme überhaupt eliminirbaren Grössen reduciit. Da nun 5— 1 Gleichungen 

 derselben die Grössen w^,. . .w^ definiren, so können 



• = (T)-' 



Parameter eliminirt werden und dies ist zugleich die Anzahl der in einem vollständigen Integrale nothwendig 

 enthaltenen Parameter. Zugleich ist evident, dass ein auf solche Weise hergestelltes vollständiges Integrale 

 ausser der gegebenen Gleichung keiner anderen von derselben oder von niederer Ordnung genügen kann, 

 wenn man nur die Bedingung hinzufügt, dass die letztgedachte Gleichung andere Parameter als die in y von 

 vornherein vorkommenden nicht enthalten soll. Das Bestehen einer solchen Gleichung würde nämlich be- 

 weisen, dass für eine oder mehrere der willkürlichen Functionen Ausdrücke ohne willkürliche Parameter ein- 

 gesetzt wurden, das erhaltene Integrale also wohl ein particuläres, aber kein vollständiges Integrale ist. 



Was nun die im vollständigen Integrale enthaltenen Parameter betrifft, so ist klar, dass sie (in der 

 Ausdrucksweise des Art. 3) variable Parameter sein müssen, da nur dann die Gleichungen (16) wirklich, wie 

 die Theorie verlangen muss, integrabel sind. 



Danach ist als ein vollständiges Integrale zu definiren: ein particuläres Integrale mit 



^'7)- 



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