über den Ziisaij/meiihang zwischen den vollständigen Integralen ii. s. w. 27 



variablen Parameter, welches so beschaffen ist, dass durch dasselbe ansser der gegebenen Gleichung keine 

 andere von derselben oder von niederer Ordnung befriedigt wird, es sei denn, dass sie Parameter enthalten 

 würde, welche in der gegebenen C41eichuug nicht vorhanden sind. 



12. 



Um nun aus einem vollständigen Integrale das allgemeine wieder zu finden, genligt es zu bemerken, dass 

 die Gleichungen (11) und (12) Art. lU ihrem Inhalte nach mit den Gleichungen (16) und (17) des vorigen 

 Artikels zusammenfallen, wenn in ihnen die Grössen [x^,. . .ix,^ durch die Werthe a'^,. . .X, ersetzt worden sind. 



In der That ist, wenn man die Verschiedenheit in der Bedeutung der Zeichen gehörig berücksichtigt, das 

 o(a, ,. . .«i+l,. . .c(,j) des vorigen Artikels nichts anderes als der Ausdruck 



v^ ö(a . . .«i+l, ..x)^ , V/ ,1 ,1 N^ 



.-=1 ' i.=i 



in den Zeichen des Art. 10, daher: 



4 > -^-^ ^^ <Jri+ ) ^/(a ...«(,+ 1, ... aj ox^ 



und mit Rücksicht darauf, dass Diu in beiden Schreibweisen dieselbe Bedeutung hat, 



k=q 



y !^i'5 (a, , . . . ai + 1, • • • 5:«) — -D;(s:, ,...«,,+ !,... a^) ^Xu] 



k=l 



_'V. j 8(a,, + l, .. -cc,) ^ ., 8(0:,, «, + 1, ■■■«,,) , . ,, S(-^|,«,,---S+ 1)^ 



J = l 

 Anderseits findet man sofort: 



k=q 



k=i .=1 



(a, , . . . «5) — y (a, , . . . «4+ 1, . . . a^) ^x,, = > ^ ?— ^ öCi, 



SO dass in der That die Gleichungen (11) und (16) einerseits, sowie (12) und (17) anderseits ihrem Inhalte 

 nach identisch sind. 



Damit ist nachgewiesen, dass die Gleichungen (11) und (12), wenn sie aus einem vollständigen Integrale 

 in dem oben definirtem Sinne entstanden sind, den Anfforderungcn, welche an sie gestellt wurden, in allen 

 in Rede stehenden Fällen genügen. Da nun die Gleichungen (11) und (12) kein x^ mehr enthalten, so müssen 

 alle aus den anderen Differentialsystemen herrührenden Bestandtheilc entfallen sein und dieselben können nur 

 Relationen zwischen den Constanten des Integralsystemes ^ter Stufe oder, was inhaltlich dasselbe ist, des 

 Systemes {[) festsetzen, wie auch weifer oben bereits constatirt worden ist. 



Das System (11), (12) ist ferner stets unbeschränkt intcgrabel und folgt dies aus seinem theoretischen 

 Inhalte. Was nämlich zunächst die Gleichungen (11) betrifft, so sind sie, wie eben gezeigt, mit den (16) dem 

 Inhalte nach identisch. Die letzteren enthalten kein ./•,, sobald die unbestimmten Grössen durch ihre richtigen 

 Werthe ersetzt worden sind; also kann man ihre Form auch vor der Bestimmung dieser Werthe angeben, 

 falls man bei der Integration des Differentinlsystemes /^tw' Stufe die sogenannten Hauptintegrale einführt. 

 Bezeichnet man jene Werthe, welche die Depeudeuten dieses Systemes für einen concreten, nicht singulären 



