28 Victor Sersawy, 



Werth x\ der ludepeudenten x^ annehmen, durch oben angefügte ,,'", so verwandeln sich die Relationen (16) 

 in die folgenden : 



*= 



o(aj,. . .«t,. . .a.jf = y («,,. ..«4+1, ...«,)" oxii', a^+ ...+ak+ . ■ .+cpcj<^j, (18) 



deren Integrale man ohne weiters angeben kann. 

 Setzt man nämlich: 



(i,0,0,...Oy_fp,„ m ; — 1 2 — 1 

 wobei Oj, <t,,. . .<I>^,_i willkürliche Functionsformen bedeuten, so wird: 



i;1;:::^)"- (Jo)I.:!i;i^; ^' /+..+. ..^s^^, o^o 



durch welche Beziehungen alle Gleichungen (18) integrirt erscheinen. Doch bestimmen diese Integral- 

 gleichungen die Grössen («,,.. .a^., . . .aj" mit Hilfe von ^j willkürlichen Functionen, während sie der Theorie 

 zufolge als Integrationsconstaute des Systemes (7) nur Eine willkürliche Function enthalten sollen. Da nun in 

 der Abhandlung (A.) auf einem Wege, der von dem hier gegenwärtigen Untersuchungen unabhängig ist, 

 nachgewiesen wurde, dass die Gleichungen (17) stets gleichzeitig befriedigt werden können und dass, 

 nachdem sie befriedigt worden sind, das System der (16) mit Hilfe einer einzigen willkürlichen Function 

 integrirt werden kann, so schliessen wir hier umgekehrt, dass sich die Integralgleichungen des Systemes 



= 2^ {^;fo^ («,,... a„...«,)—Z),(a,,...a, + l,...a,)^,r,}« (20) 



it=l 



auf^ — 1 Kelationen ZAvischen den Functionen <t>^, <J>, ,...(t>^j_i rcduciren lassen, durch deren Bestehen sodann 

 nicht allein die (20) identisch erfüllt sind, sondern auch die (19) die geforderte Form erhalten. Damit ist der 

 Beweis erbracht, dass das System (11) und (12) stets integrabel ist. Mau wird zugleich bemerken, dass das 

 Integralsystem in allen Fällen leicht gewonnen werden kann. Da nämlich das vorgelegte Integrale ein voll- 

 ständiges Integrale ist, so muss es immer möglich sein, die Parameter c^ , i\,. . . c, und die Grössen w.^ ,.. . ir,^ 

 durch die Anfangswerihe («,,.• ■«,;)", welche man füglich Hauptparameter nennen könnte und durch u-^,. . .x^ 

 auszudrücken. Setzt man in diesen Bestimmnngsgleichungen für die Hauptparameter deren eben ermittelten 

 Werthe, so erhält man unmittelbar die Integralgleichungen des Systemes (16j und (17), resp. (11) und (12). 



Trägt man bei den beschriebenen Operationen Sorge, v von einander unabhängige Integrationsconstaute 

 c'i, i-i,. . .({ einzufuhren (vergl. Art. 3), so geht durch Einführung der gewonnenen Werthe ^ in eine Function 

 von *'j,. . .Xg-, c'i, c'i. . .d, über, welche in allen Fällen, die der am Eingänge des Art. 11 gemachten Voraus- 

 setzung entsprechen, augenscheinlich wieder ein vollständiges Integrale der gegebenen Gleichung ist. Wieder- 

 holt mau nun die ganze Rechnung, setzt jedoch an Stelle der /jl.^,. . .^,^ das zweite Wurzelsystem Ä", . . .Ä'|, so 

 erhält man die willkürlichen Bestandtheile des zweiten Systemes und indem man so fortfährt, bis alle Wurzel- 

 systeme erschöpft sind, schliesslich das allgemeine Integrale. 



13. 



Die Erfüllung der Gleichungen (16) und (17) ist eine für die Integration wesentliche Forderung; es kann 

 kein Integrale gefunden werden, ohne dass diese Gleichungen befriedigt würden, und zwar oiine Rücksicht 

 darauf, ob die Zerlegung (15) möglich ist oder nicht. Wir können daher die in den vorhergehenden Artikeln 

 aufgestellten Begriffe auch auf die Fälle ausdehnen, die noch zu besprechen sind, das ist auf jene, bei welchen 

 die genannte Zerlegung nicht möglich ist, und dies mit um so grösserer Berechtigung als die Unterscheidung 

 in Gleichungen, welche diese Zerlegung gestatten, oder nicht gestatten, sich überhaupt nur auf die Art bezieht. 



