über den Zusammenhamj zwischen den rollständigen Integralen u. s. to. 



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wie die Gleichungen (U) und (17) befriedigt werden können, die Möglichkeit ihrer Erfüllung hingegen gar nicht 

 berührt. Besitzt man also ein Integrale einer gegebenen Gleichung, so ist von vornherein gewiss, dass die aus 

 demselben abgeleiteten Gleichungen (11 1 und (12) jederzeit befriedigt werden können. Ist das betreffende 

 Integrale das allgemeine, so sind sie identisch erfüllt; bei vollständigen Integralen können sie stets durch 

 Beziehungen zwischen den Parametern allein befriedigt werden. Kann dies aber nur dadurch geschehen, dass 

 man einige oder alle Parameter gleich constanten, keiner Variation fähigen Grössen setzt, so ist das vor- 

 liegende Integrale kein vollständiges Integrale und kann für uns keinen Gegenstand weiterer Untersuchung 

 bilden. Diese Begriffsbestimmungen gelten also jetzt für alle Gleicbungen ohne Unterschied. 



Sei nun ein vollständiges Integrale gegeben und entwickeln wir die Gleichungen (11) und (12), so können 

 diese nach denselben Principien wie früher behandelt werden. Setzt man also insbesondere für die Grössen p. 

 die X-Werthe, welche einem beliebigen der p vorhandenen Wurzelsysteme — also etwa dem Systeme / - 

 angehören, so ist es immer möglich, aus den Gleichungen (11) und (12) die Parameter c„...c. als Functionen der 

 Grössen «•' .ivu und der Ableitungen einer willkürlichen Function *„ dieser Grössen nach den Argumenten 

 „/ «.' darzustellen, jedoch nur dann, wenn man hiebei die gegebene Gleichung unberücksichtigt lässt und 

 ni'c'ht fordert, dass die für die Parameter folgenden Werthe zugleich der gegebenen Gleichung genügen sollen. 

 Dies würde, wie in Art. 10 gezeigt worden, von vornherein einen Widerspruch involviren. Bestmimt man aber 

 die Parameter unabhängig von der gegebenen Gleichung blos aus den Gleichungen (11) und (12) als Functionen 



,,„ „,. ,,' ^ ^-!^ und setzt diese Werthe in z ein, so erhält man einen Werth , welcher 



der gegebenen Gleichung nicht mehr identisch Genüge leistet. Diese verwandelt sich vielmehr in eine Hestim- 

 mungsgleichung für <!.„, denn sie enthält, wie man aus den Formeln des Art. 10 unmittelbar erkennt nur 

 mehr die Grössen w',, . . .w!, und die Ableitungen von <!>„ nach diesen Grössen bis zur pt,n Ordnung und ist 

 im Allgemeinen wieder eine Differentialgleichung ^ter Ordnung, welche jedoch nicht q, sondern nur mehr 

 a-1 Independente enthält. Es ist daraus zu ersehen, dass die Integrale solcher Gleichungen, wie wu- sie 

 jetzt behandeln, willkürliche Functionen a>„, in welchen die Argumente ui,. . M, untereinander unabhängig 

 sind im Allgemeinen nicht enthalten kann, dass vielmehr diese Argumente, wenn a>„ keiner Beschränkung 

 in Hinsicht der Willkürlichkeit unterliegen soll, nur in festen, durch die eben erhaltene Bestimmungsgleichung 

 bedingten Verbindungen in <I)o eintreten können. -c • t >> 



Hierin stimmen die gegenwärtigen Pirgebnisse mit den Resultaten der {A.) vollständig überein. Es ist aber 

 ein Umstand nachzutragen, welcher besondere Aufmerksmnkeit verdient und, um die Begriffe zu hxiren, zu 

 nächst an einem speciellen Beispiele besprochen werden soll. 

 Betrachten wir also die Gleichung: 



8.r, ox^ 0./3 

 deren allgemeines Integrale wegen der linearen Form der Gleichung («) durch den Ausdruck: 



dargestellt werden kann, in welchem, wenn man kurz: 



a = .^\+ix^ , b =X3 + /x, 



a' = x^ + ix.„ h' —x^ + ix., 



a" = ./■, + «•.,, //'=.( 2 + «3 



bezeichnet, die Functionen '!>, X, U« nur an die eine Bedingung: 



_ SO 8X 8Uf (j3) 



- 8^ "*" 8«'86' "^ 8«"&/'" 



