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gebunden sind. Will mau nun den O, X, W unbeschränkte Willkürlichkeit belassen, so kann diese Bedingung 

 nur dann befriedigt werden, wenn einzeln 



~ h:M' "WöF' Sa". 86" ^"^^ 



gemacht wird. Dann hat z die Gestalt: 



worin nun <I', <I>, , . . . unbeschränkt willkürlich sind. Man kann jedoch die Bedingung (|3) auch auf andere Art 

 erfüllen, z. B. indem man setzt: 



i=:0 ,=0 1=0 



(^) 



WO dann die Coefficienten A,, A', Af gewissen aus (ß) fliessenden Bedingungen unterworfen sind. Im letzten 

 Falle hat man also Functionen aufgestellt, welche in der Tliat in der durch (ß) angegebenen Beziehung 

 stehen. ' Wenn wir auch vorläufig davon absehen, ob die Aufstellung solcher Integrale zweiter Art immer 

 möglich ist, so ist doch klar, dass diese Integrale aus der Form (o') nicht abgeleitet werden können, aus dem 

 einfachen Grunde, weil im zweiten Falle die Functionen <I>, X, ^f, wenn auch in gewissen Beziehungen in ihrer 

 Willkürlichkeit eingeschränkt, so doch Funtionen je zweier Argumente sind, während das Integrale (o) nur 

 aus einer Summe von Functionen je eines Argumentes zusammengesetzt ist. 



Bedenkt man nun, dass zwischen den Grössen w der verschiedenen Systeme vermöge ihrer Abstammung 

 von den A-Werthen, die ihrerseits wieder durch die Gleichungen 



P. ('-o,) = 



untereinander verbunden sind, nothweudig gewisse Beziehungen existiren müssen, so ist zu erwarten, dass 

 sich bei jeder Gleichung, welche die Zerlegung (15) nicht zulässt, Integrale beider Arten werden aufstellen 

 lassen. Da nun beide Arten aus der Formel (ß) entspringen, diese also allgemeiner ist als jede der aus ihr 

 gezogenen Arten von Integralen, so wird man die Gleichungen (1) und (ß) als die allgemeine Lösung des 

 Problems (a) ansehen müssen, oder allgemeiner zu sprechen: 



Das allgemeine Integrale solcher partieller Differentialgleichungen, welche die Zerlegung (15) 

 nicht zulassen, wird dargestellt : 



1. Durch eine Beziehung zwischen z, i\,. . .x,^, welche im Allgemeinen p nicht näher bestimmte 



Functionsformen enthält, die mit Ausnahme einer sub 2) erwähnten Bedingung weiter keiner 

 Einschränkung unterworfen sind, und 



2. Durch eine Bedingungsgleichung, welche stets als eine Verbindung mehrerer partieller Differential- 



gleichungen mit je q — 1 ludependenten dargestellt werden kann. 



Nach dieser Definition ist unter anderem die auf Seite 102 der (J..) angegebene Lösung der Gleichung: 



(300) + 2(210)— 2(201— 5(120)-10(111)—5(102)-6(030)-9(021) + 10(012)+6(003) = 



nicht die allgemeine Lösung, da sie augenscheinlich nur den Charakter der Lösung (p) besitzt. 



Wenn man also bei der Integration der Gleichungen (11) und (12) wieder v Integrationsconstanten ein- 

 führt und mit deren Hilfe, wie schon mehrfach l)eschrieben, successive alle Wurzelsysteme in Rechnung zieht, 

 so erhält man für z einen Ausdruck, welcher der gegebenen Gleiclumg nicht identisch genügt. Das Resultat 



1 Man erhält nach eiuigen leichten Rcductioncn die sogenannten „harmonischen Kugelfuuctionen". 



