120 Karl Bobek, 



Im IV. Absclinitte wurden die zur Curve adjungirten dreifach berührenden Kegelschnitte betrachtet und 

 die 16 Systeme dadurcli charakterisirt, dass jedesmal die sechs Doppeltangenten angegeben wurden, welche 

 in einem solchen System auftreten. Die daselbst gegebene Tabelle stellt diese Anordnung vor. 



In der zweiten Abtheilung wurden besondere Curven vom Geschlechte Zwei betrachtet. Und zwar solche 

 Curven, welche in dem Doppelpunkte einen oder zwei Wendepunkte besitzen, und schliesslich wurde die 

 Curve 4**^'' Ordnung mit einer Spitze betrachtet. Es wurden bei derselben die Systeme vierfach berührender 

 Kegelschnitte, sowie auch die Sj'steme der adjungirten dreifach berührenden Kegelschnitte angeben und die 

 Einordnung der Doppeltangenten dieser Curve in die Systeme der Kegelschnitte bewirkt. Zwei daselbst auf- 

 gestellte Tabellen veranschaulichen diese Einordnung. 



Erste Abtheilung. 



In der ersten Abtheilung setzen wir eine Curve 4''"' Ordnung mit einem Doppelpunkt voraus, dessen 

 Tangenten die Curve noch ausserhalb in einem Punkte treffen, so dass kein Wendepunkt im Doppelpunkte liegt. 

 Die im I. Abschnitt angestellten Betrachtungen fordern zwar nicht überall diese Voraussetzungen, und es ist 

 leicht, die Beschränkung anzugeben, welche mit dem Fallenlassen derselben eintreten. Um aber nicht zu weit- 

 läufig werden zu müssen, wurde an den Voraussetzungen festgehalten und etwaige Bemerkungen wurden in 

 der zweiten Abtheilung gemacht, insoweit sie für die dort betrachteten Curven erforderhch erschienen. 



I. Erzeugung der Curve 4'»' Ordnung mit einem Doppelpunkte. 



1. Bezieht man einen Strahienbüschel ein-eindeutig auf die Kegelschnitte eines Systems vom Index 2, so 

 ist der Ort der Schnittpunkte entsprechender Curven eine Curve 4'«'' Ordnung, welche im Scheitel des Strahlen- 

 büschels einen Doppelpunkt besitzt. 



Sind A, B lineare, (-J, H quadratische Functionen der Coordinaten, so möge 



A-1B = (1) 



die Gleichung des Strahlenbüschels und 



&a+2Hl-\-&,.A^ = (2) 



die Gleichung des Kegelschnittsystems vom Index 2 sein, und es mögen einander die Curven (1) und (2) 

 entsprechen, welche dasselbe X besitzen. Die Gleichung des Erzeugnisses von (1) und (2) ist dann 



<t> = (rKB^+2HAB-h(-)i,A^ — (3) 



und zeigt, dass die Curve •trzo, die wir auch einfach <I> nennen wollen, in den Schnittpunkten der Geraden 

 A und B einen Doppelpunkt besitzt. Die Kegelschnitte (2) hüllen eine Curve 4*" Ordnung S4 ein, deren 

 Gleichung 



t,= H^-0„0, =:U (4) 



ist. 



2. Es ist aber auch umgekehrt möglich, jede vorgelegte Curve 4*" Ordnung <I> mit einem 

 Doppelpunkte d auf die angegebene Art zu erzeugen. 



Es mögen die Punktepaare, welche die Geraden A, B, C, X . . . durch d auf <I> ausschneiden mit a a, 

 bß, cy, x£,... bezeichnet werden. Sie bilden die Gruppen der einzigen linearen Schaar von Gruppen zu 

 zwei Punkten ^^'), die auf der hyperelliptischen Curve <!> auftreten kann. Ferner mögen durch <f Curven 

 3'" Ordnung bezeichnet werden, die durch den Doppelpunkt von <I> gehen, also zu <t> adjungirt sind. 



Es sei K ein Kegelschnitt, der durch das Paar wfx von <i> geht und diese noch in sechs Punkten, die wir 

 {E) nennen wollen, trifft. Dann geht durch (iC) und irgend ein Paar a« von * noch ein Büschel von Curven 



