über Curveu 4'<^'' Ordnimg vom Geschlechte Zwei. 121 



3'" Ordnung v, denn .1 zusammen mit K stellt, eine y dar, welche die Gruppe /»/;. von <i> enthält, mithin 

 geht durch den Restschnitt von A.K mit <I> noch genau ein Büschel von Curven f, welcher die 'j.^'' aus- 

 schneidet, zu welcher 8chaar die Gruppe w;j. gehört. 



Wir bezeichnen durch o,,,. die Curve des Büschels durch (K), d, ax, welche das Paar xc auf O aus- 

 schneidet. 



Durch a« legen wir einen willkürlichen Kegelschnitt 0„. Dieser wird von der Curve y,,^ ausser in a« 

 in einem variablem Quadrupel (x) geschnitten, so zwar, dass die vier Punkte (x) und x^ auf einem Kegel- 

 schnitte liegen, den wir mit (■), bezeichnen wollen. Es bestimmt nämlich y,,^ mitX.O^ einen Büschel von Curven 

 3'" Ordnung, dessen Basispunkte ax, x^, d, (x) sind, und da aaJ auf einer Geraden liegen, so liegen die 

 sechs übrigen xt, («) auf einem Kegelschnitte. 



Beschreibt x^ die Curve <I>, also o,,^. den Büschel, so wird der Kegelschnitt 0, ein System durchlaufen, 

 welches auf den Büschel y,„ und also auch auf den Strahlenbüschel, den Z beschreibt ein — eindeutig bezogen 

 ist, und von dem wir zeigen werden, dass es den Index 2 besitzt. Vor Allem ist klar, dass auch K diesem 

 System angehört und als (-),„ zu bezeichnen wäre. Aber auch (■)„ gehört zu diesem System. Das System bleibt 

 nämlich ungeändert, wenn man zu seiner Erzeuzung an Stelle des Kegelschnittes t)„ und des Büschels »„ 

 durch (/, aa, {IC), den Kegelschnitt 0^ und den Büschel y^ durch d, xt, [K) nimmt. 



Denn, sei 0„ einer der Kegelschnitte des Systems, welcher durch yn und das Quadrupel (ij) auf 0« 

 bestimmt ist, in welchem '^„„ den 0„ trifft, so kann gezeigt werden, dass ©^,, durch die vier Schnittpunkte 

 von 0;, und 0„ geht. Findet diess statt, so kann 0;, auch mit Hilfe von 0^ und der Curve y^y erhalten 

 werden. 



Nun sind 0,;.y„„ und 0„.y„^ zwei Curven 5'<='' Ordnung, deren 10 Schnittpunkte aa, («/), {x) auf dem 

 Kegelschnitte 0^ liegen, mithin geht durch die 15 übrigen eine Curve 3'"' Ordnung. Diese Punkte sind aber 

 (K), (/, xt, yn und die vier Schnittpunkte von 0^. und 0„, also geht die Curve ü^y, welche durch (K), d, 

 x^, yn bestimmt ist, auch durch die Schnittpunkte von 0^ und 0„. 



Da nun f^^ den 0^ in dem Quadrupel (x) trifft, welches auf 0„ liegt, denn durch dieses wurde 0^ 

 erhalten, so ersieht man, dnss 0„ auch zum System der Kegelschnitte gehört. 



Es kann aber auch an Stelle von K irgend ein Kegelschnitt 0„ des Systems gewählt werden, welcher 

 das Paar «v enthält. Legt mau nämlich durch die Schnittpunkte der Curven 3'"' Ordnung A.&^ und X.0a 

 den Büschel von Curven S''-*"' Ordnung, von dem die frühere fax eine Curve ist, so triflft jede die <I> noch in sechs 

 variablen Punkten, die stets auf einem Kegelschnitte des Systems liegen. Denn sei f'a:^ die Curve, welche in 

 der Gruppe {K') von sechs Punkten trifft, dann geht durch (K') und d,ax ein Büschel von Curven y, welche 

 die (?^') aus <^ ausschneiden, da <ji'ax die Gruppe xi der g[^'> enthält. 



Da nun die drei Punkte (7,aa auf yl liegen, so liegen die sechs Punkte (K) auf einem Kegelschnitte, der 

 noch ein Paar nv der g'^'' von <I> enthält, denn A in Verbindung mit dem Kegelschnitte bildet auch eine o, 

 welche eine Gruppe der ^('^ ausschneiden niuss. 



Wenn nun gezeigt wird, dass der Büschel von Curven f'a durch {K'), d, aa. mit 0^ dasselbe System 0^ 

 erzeugt, wie es früher construirt wurde, so ist der Kegelschnitt durch (K) offenbar ein Kegelschnitt des 



Systems. 



Betrachten wir den Büschel von Curven y„ durch d, aa, \K) und der Curven f'„ durch d, ax, {K'), so 

 schneiden beide die Paare der (/(,') aus 'I' aus, und die Büschel werden zu einander projectivisch, wenn man 

 diejenigen Curven einander zuweist, welche dasselbe Paar .rc von «h enthalten. Diese projectivischen 

 Büschel y„ und y'„ erzeugen daher ausser <I> noch einen Kegelschnitt, der durch ax geht. Da nun y^^ und 

 to'ax auch entsprechende Curven sind, die sich ausserhalb <l> noch im Quadrupel {x) schneiden, so geht 

 der Kegelschnitt durch «« und (.j") und ist also mit 0« identisch. Hieraus folgt aber, dass entsprechende 

 Curven y„,, und y'„„ der beiden Büschel in denselben vier Punkten {y) von 0„ einander schneiden müssen, 

 und dass dalier die Kegelschnitte 0„, welche (//) mit yri verbinden, auch durch den Büschel ^'„ erhalten 

 werden. 



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